Sono corrette queste proposizioni?
Sia $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$
Proposizione 1
Sia gradoQ $\geq$ gradoP + 2
Siano $x_1 ... x_h$ zeri reali semplici di $Q(x)$
Siano $z_1 ... z_k$ singolarità di $f$ con $Im > 0$
Allora
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) + 2\pi i \sum_{i=1}^{k}Res(f,z_i)$
Proposizione 2
Sia gradoQ $\gt$ gradoP
Siano $x_1 ... x_h$ zeri reali semplici di $Q(x)$
Siano $z_1 ... z_k$ zeri di $Q(x)$ con $Im > 0$
Siano $s_1 ... s_l$ zeri di $Q(x)$ con $Im < 0$
Allora
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{i \alpha x} dx = \pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) + 2\pi i \sum_{i=1}^{k}Res(f,z_i)$ per $\alpha \gt 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{i \alpha x} dx = -\pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) - 2\pi i \sum_{i=1}^{l}Res(f,s_i)$ per $\alpha \lt 0$
.
La domanda è queste due proposizioni sono corrette?
Trovo le stesse proposizioni ma con ipotesi diverse in praticamente ogni dispensa che leggo!
Ad esempio c'è chi dice che, nella Proposizione 1, gli $z_1 ... z_k$ devono essere zeri di $Q(x)$ anziché singolarità di $f$...
Mentre uno zero di $Q(x)$ è sicuramente una singolarità di $f$ (annulla il denominatore) non è detto che una singolarità di $f$ debba essere necessariamente uno zero di $Q(x)$ no? La funzione può avere punti in cui non è definita anche per via del numeratore $P(x)$
La stessa cosa riguarda la Proposizione 2
Qualcuno può confermarmi una volta per tutte se le ipotesi che ho riportato sopra sono quelle giuste?
Grazie in anticipo!
Proposizione 1
Sia gradoQ $\geq$ gradoP + 2
Siano $x_1 ... x_h$ zeri reali semplici di $Q(x)$
Siano $z_1 ... z_k$ singolarità di $f$ con $Im > 0$
Allora
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) + 2\pi i \sum_{i=1}^{k}Res(f,z_i)$
Proposizione 2
Sia gradoQ $\gt$ gradoP
Siano $x_1 ... x_h$ zeri reali semplici di $Q(x)$
Siano $z_1 ... z_k$ zeri di $Q(x)$ con $Im > 0$
Siano $s_1 ... s_l$ zeri di $Q(x)$ con $Im < 0$
Allora
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{i \alpha x} dx = \pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) + 2\pi i \sum_{i=1}^{k}Res(f,z_i)$ per $\alpha \gt 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{i \alpha x} dx = -\pi i \sum_{i=1}^{h}Res(f,x_i) - 2\pi i \sum_{i=1}^{l}Res(f,s_i)$ per $\alpha \lt 0$
.
La domanda è queste due proposizioni sono corrette?
Trovo le stesse proposizioni ma con ipotesi diverse in praticamente ogni dispensa che leggo!
Ad esempio c'è chi dice che, nella Proposizione 1, gli $z_1 ... z_k$ devono essere zeri di $Q(x)$ anziché singolarità di $f$...
Mentre uno zero di $Q(x)$ è sicuramente una singolarità di $f$ (annulla il denominatore) non è detto che una singolarità di $f$ debba essere necessariamente uno zero di $Q(x)$ no? La funzione può avere punti in cui non è definita anche per via del numeratore $P(x)$
La stessa cosa riguarda la Proposizione 2
Qualcuno può confermarmi una volta per tutte se le ipotesi che ho riportato sopra sono quelle giuste?
Grazie in anticipo!
Risposte
"DeltaEpsilon":
Mentre uno zero di $Q(x)$ è sicuramente una singolarità di $f$ (annulla il denominatore) non è detto che una singolarità di $f$ debba essere necessariamente uno zero di $Q(x)$ ...
Probabilmente intendevi il contrario. Del resto, l'annullarsi del denominatore è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un punto singolare. Insomma, potrebbe annullarsi anche il numeratore. In questo caso non si avrebbe un punto singolare.
"anonymous_0b37e9":
Probabilmente intendevi il contrario. Del resto, l'annullarsi del denominatore è condizione necessaria ma non sufficiente per l'esistenza di un punto singolare. Insomma, potrebbe annullarsi anche il numeratore. In questo caso non si avrebbe un punto singolare.
La funzione non potrebbe presentare una singolarità per via del solo numeratore (senza che sia uno zero del denominatore)? Penso ad esempio ad un $P(x) = log(x)$ e $x = 0$
Comunque, riguardo le due proposizioni, sono corrette entrambe?
Scusa ma, non sono funzioni razionali fratte, cioè, rapporti tra due polinomi?
"anonymous_0b37e9":
Scusa ma, non sono funzioni razionali fratte, cioè, rapporti tra due polinomi?
Ok non so perchè mi sono stupidamente spostato nel caso generale di funzione
Le due proposizioni sono corrette. Inoltre, se gli zeri reali semplici del denominatore sono punti singolari, gli integrali esistono solo nel senso del valore principale.
"anonymous_0b37e9":
Le due proposizioni sono corrette. Inoltre, se gli zeri reali semplici del denominatore sono punti singolari, gli integrali esistono solo nel senso del valore principale.
In quale caso uno zero del denominatore non è punto singolare?
"DeltaEpsilon":
queste due proposizioni sono corrette?
Hai un unico modo per sapere se sono vere o no: dimostrarle.
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