Sommatoria di sinusoidi sfasate isofrequenziali
posto in questa sezione perchè magari una soluzione può essere di tipo fasoriale.
c'è una formula ben definita che possa determinare la fase di una sommatoria di sinusoidi di pari pulsazione e ampiezza ma sfasate tra loro?
sono riuscito a dimostrare applicando le formule di prostaferesi che la somma di due sole sinusoidi di pari ampiezza e pulsazione
$ Acos(omega+phi_1) $ e $ Acos(omega+phi_2) $ ha ampiezza pari a $ 2Acos((phi_1-phi_2)/2) $ e fase iniziale pari a $ (phi_1+phi_2)/2 $ cioè
$ Acos(omega-phi_1)+Acos(omega-phi_2)=2Acos((phi_1-phi_2)/2)*cos(omega-(phi_1+phi_2)/2) $
tuttavia non saprei estendere al caso generico di somma di più sinusoidi a pari ampiezza e pulsazione.
Con alcune prove su geogebra mi pare di capire che se eseguo una sommatoria di n sinusoidi, al solito di pari ampiezza e pulsazione, in cui la (i+1)-esima è sfasata rispetto alla i-esima di uno stesso angolo $ tau_c $ tale che $ (n-1)*tau_c<2pi $, ottengo una sinusoide di pari pulsazione, diversa ampiezza e fase iniziale pari alla semisomma della prima fase iniziale e della n-esima, ma, ammesso che sia corretto, non saprei come dimostrarlo
c'è una formula ben definita che possa determinare la fase di una sommatoria di sinusoidi di pari pulsazione e ampiezza ma sfasate tra loro?
sono riuscito a dimostrare applicando le formule di prostaferesi che la somma di due sole sinusoidi di pari ampiezza e pulsazione
$ Acos(omega+phi_1) $ e $ Acos(omega+phi_2) $ ha ampiezza pari a $ 2Acos((phi_1-phi_2)/2) $ e fase iniziale pari a $ (phi_1+phi_2)/2 $ cioè
$ Acos(omega-phi_1)+Acos(omega-phi_2)=2Acos((phi_1-phi_2)/2)*cos(omega-(phi_1+phi_2)/2) $
tuttavia non saprei estendere al caso generico di somma di più sinusoidi a pari ampiezza e pulsazione.
Con alcune prove su geogebra mi pare di capire che se eseguo una sommatoria di n sinusoidi, al solito di pari ampiezza e pulsazione, in cui la (i+1)-esima è sfasata rispetto alla i-esima di uno stesso angolo $ tau_c $ tale che $ (n-1)*tau_c<2pi $, ottengo una sinusoide di pari pulsazione, diversa ampiezza e fase iniziale pari alla semisomma della prima fase iniziale e della n-esima, ma, ammesso che sia corretto, non saprei come dimostrarlo
Risposte
Certamente quella dei fasori è una strada percorribile.
Ad esempio mettiamo il caso della somma di coseni dati in questa forma:
\(A\cos \left ( \omega t+\left ( n+1 \right )\theta \right )\)
si ha la seguente sommatoria:
\(A \cdot e^{j\theta }\sum_{n=0}^{k-1}\left ( e^{j\theta } \right )^{n}=A\left ( \frac{e^{j\left ( k+1 \right ) \theta }-e^{j\theta }}{e^{j\theta }-1} \right )\)
Con $k=$ numero di coseni da sommare.
Chiaramente una volta che hai il risultato in forma complessa devi calcolarti il modulo e l'argomento
Ad esempio mettiamo il caso della somma di coseni dati in questa forma:
\(A\cos \left ( \omega t+\left ( n+1 \right )\theta \right )\)
si ha la seguente sommatoria:
\(A \cdot e^{j\theta }\sum_{n=0}^{k-1}\left ( e^{j\theta } \right )^{n}=A\left ( \frac{e^{j\left ( k+1 \right ) \theta }-e^{j\theta }}{e^{j\theta }-1} \right )\)
Con $k=$ numero di coseni da sommare.
Chiaramente una volta che hai il risultato in forma complessa devi calcolarti il modulo e l'argomento
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