Sommabilità successione di funzioni
Ciao a tutti,
ho da provare che la successione di funzioni
$f_n(x) = \frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2}))$
con $x \in (0, \infty)$ è sommabile.
Sostanzialmente dovrei fare vedere che la norma in $L^1((0, \infty))$ sia limitata. Non devo calcolare la norma, devo solo provare che non vada all'infinito.
In altri esercizi simili, sono riuscito a maggiorare e poi a risolvere l'integrale (ex. in un alto esercizio avevo al numeratore $xsin(nx)$ e dunque l' ho posto minore di $x$). qui non riesco a trovare nessuna maggiorante sommabile. Potreste darmi un'idea?
Grazie
ho da provare che la successione di funzioni
$f_n(x) = \frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2}))$
con $x \in (0, \infty)$ è sommabile.
Sostanzialmente dovrei fare vedere che la norma in $L^1((0, \infty))$ sia limitata. Non devo calcolare la norma, devo solo provare che non vada all'infinito.
In altri esercizi simili, sono riuscito a maggiorare e poi a risolvere l'integrale (ex. in un alto esercizio avevo al numeratore $xsin(nx)$ e dunque l' ho posto minore di $x$). qui non riesco a trovare nessuna maggiorante sommabile. Potreste darmi un'idea?
Grazie
Risposte
La seguente maggiorazione è vera?
$\frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2})) < \frac(1)\(x^{3/2})$
da un certo n in poi?
$\frac(1 - e^{-nx})\(x^{3/2}(n + e^{-nx^2})) < \frac(1)\(x^{3/2})$
da un certo n in poi?
Ciao AAnto,
A parte il fatto che dovresti riuscire a vederlo da solo, la maggiorazione mi risulta vera $\AA n $, incluso $n = 0 $
A parte il fatto che dovresti riuscire a vederlo da solo, la maggiorazione mi risulta vera $\AA n $, incluso $n = 0 $
Grazie per la risposta, ma mi sono appena reso conto di non poter comunque usare il teorema di convergenza dominata (almeno con questa funzione dominante $\frac(1)\(x^{3/2})$, in quanto essendo l'esponente $\alpha \ge 1$, essa non risulta sommabile.
Non riesco proprio a farmi venire una via per provare che la successione di funzioni in oggetto sia sommabile
Non riesco proprio a farmi venire una via per provare che la successione di funzioni in oggetto sia sommabile
Beh, visto che il problema ce l'hai nei pressi dello $0$ potresti spezzare l'integrale:
$\int_0^{+\infty} f_n(x) \text{d}x = \int_0^1 f_n(x) \text{d}x + \int_1^{+\infty} f_n(x) \text{d}x $
Per il secondo integrale puoi usare quella maggiorazione e si trova facilmente
$\int_1^{+\infty} f_n(x) \text{d}x < \int_1^{+\infty} 1/x^{3/2} \text{d}x = 2 $
A questo punto rimane da trovare una maggiorazione per $x \in (0, 1) $
$\int_0^{+\infty} f_n(x) \text{d}x = \int_0^1 f_n(x) \text{d}x + \int_1^{+\infty} f_n(x) \text{d}x $
Per il secondo integrale puoi usare quella maggiorazione e si trova facilmente
$\int_1^{+\infty} f_n(x) \text{d}x < \int_1^{+\infty} 1/x^{3/2} \text{d}x = 2 $
A questo punto rimane da trovare una maggiorazione per $x \in (0, 1) $
Grazie dell'aiuto, ma spero tu mi possa aiutare ancora..
Se per $(1, + \infty)$ riesco a verificare che $\frac(1)\(x^{3/2})$ è maggiorante, infatti:
$1-e^{-nx} \le 1 + e^{-nx^2} \le n + e^{-nx^2}$ e dunque
$\frac(1)\(x^{3/2}) \frac(1-e^{-nx})\(n + e^{-nx^2}) \le \frac(1)\(x^{3/2})$
Per l'intervallo $(0, 1)$ non mi viene alcun modo per trovare maggiorante sommabile. Riusciresti a darmi una via?
Se per $(1, + \infty)$ riesco a verificare che $\frac(1)\(x^{3/2})$ è maggiorante, infatti:
$1-e^{-nx} \le 1 + e^{-nx^2} \le n + e^{-nx^2}$ e dunque
$\frac(1)\(x^{3/2}) \frac(1-e^{-nx})\(n + e^{-nx^2}) \le \frac(1)\(x^{3/2})$
Per l'intervallo $(0, 1)$ non mi viene alcun modo per trovare maggiorante sommabile. Riusciresti a darmi una via?
Ho la stessa difficoltà nel seguente (identico) esercizio..
Provare che in $(0, \infty)$ la successione di funzioni
$f_n(x) = \frac(sen(nx^{1/3}))\(x(n + x^{1/3}))$
Allora riesco ad usare in $(1, \infty)$ il teorema di convergenza dominata, grazie alla seguente maggiorazione:
$\frac(sen(nx^{1/3}))\(x(n + x^{1/3})) \le \frac(1)\(x(n + x^{1/3})) \le \frac(1)\(x^(4/3))$
che in tale intervallo è sommabile.
Mentre non riesco a trovare maggiorante sommabile in $(0, 1)$..
Potreste aiutarmi?
Provare che in $(0, \infty)$ la successione di funzioni
$f_n(x) = \frac(sen(nx^{1/3}))\(x(n + x^{1/3}))$
Allora riesco ad usare in $(1, \infty)$ il teorema di convergenza dominata, grazie alla seguente maggiorazione:
$\frac(sen(nx^{1/3}))\(x(n + x^{1/3})) \le \frac(1)\(x(n + x^{1/3})) \le \frac(1)\(x^(4/3))$
che in tale intervallo è sommabile.
Mentre non riesco a trovare maggiorante sommabile in $(0, 1)$..
Potreste aiutarmi?
Facendo riferimento alla prima successione di funzioni proposta, visto che il problema si ha nei pressi di $x = 0 $ si potrebbe sviluppare in serie:
[tex]\int_0^1 f_n(x) \text{d}x \sim \int_0^1 \frac{n}{(n + 1)\sqrt{x}} \text{d}x = \frac{2n}{n + 1}[/tex]
[tex]\int_0^1 f_n(x) \text{d}x \sim \int_0^1 \frac{n}{(n + 1)\sqrt{x}} \text{d}x = \frac{2n}{n + 1}[/tex]
Ma cosa dovrebbe essere sommabile? Le funzioni \(f_n\)? O il loro limite?
Se vuoi dimostrare che \(\lVert f_n\rVert_1\) è uniformemente limitata, ti conviene dire "la norma L^1 è uniformemente limitata". Dire che "una successione è sommabile" non ha senso: una singola funzione è sommabile, non una successione.
Se vuoi dimostrare che \(\lVert f_n\rVert_1\) è uniformemente limitata, ti conviene dire "la norma L^1 è uniformemente limitata". Dire che "una successione è sommabile" non ha senso: una singola funzione è sommabile, non una successione.
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