Somma sui reciprochi degli zeri.
Le note mi dicono che
\[ \sum_{\rho } \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } < \infty \]
per \( \sigma > 1 \), dove \( \rho \) sono gli zeri non banali della zeta di Riemann. Ed è banale perché segue dal fatto che se \(f\) è una funzione intera è di ordine \( \alpha \) allora per ogni \(R \geq 1 \) risulta che
\[ \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \ll R^{\alpha + \epsilon } \]
per ogni \( \epsilon >0 \) e dove \(\rho \) sono gli zeri di \(f\) (contati con la loro molteplicità).
Allora io mi chiedo perché è banale. Cioè non vedo come questo mi implica automaticamente che l'altra sia convergente.
\[ \sum_{\rho } \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } < \infty \]
per \( \sigma > 1 \), dove \( \rho \) sono gli zeri non banali della zeta di Riemann. Ed è banale perché segue dal fatto che se \(f\) è una funzione intera è di ordine \( \alpha \) allora per ogni \(R \geq 1 \) risulta che
\[ \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \ll R^{\alpha + \epsilon } \]
per ogni \( \epsilon >0 \) e dove \(\rho \) sono gli zeri di \(f\) (contati con la loro molteplicità).
Allora io mi chiedo perché è banale. Cioè non vedo come questo mi implica automaticamente che l'altra sia convergente.
Risposte
Cioè non so se sto per dire una cavolata colossale. Ma mi verrebbe da usare Abel summation formula. La zeta non ha zeri banali di modulo minore di \(1\) quindi:
sia \( \epsilon > 0 \) allora \( \sigma = 1 + \epsilon \), e prendiamo \( \varepsilon >0 \) tale che \( \epsilon - \varepsilon =: \delta > 0 \) allora
\[ \sum_{1 < \left| \rho \right| \leq R} \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } \leq \left( \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \right) \frac{1}{\left| R \right|^{\sigma} } + \int_1^R \frac{ \left( \sum_{ \left| \rho \right| \leq x} 1 \right) }{x^{2+\epsilon}} dx \]
\[ \ll \frac{R^{\sigma}}{\left| R \right|^{\sigma} } + (1+\epsilon) \int_1^R \frac{ x^{1+\varepsilon} }{x^{2+\epsilon}} dx \]
\[ = 1 + (1+\epsilon) \int_1^R \frac{1 }{x^{1+\delta}} dx \]
\[ = 1 + (1+\epsilon) \frac{1}{\delta} = O(1)\]
Possibile problema: Abel funziona se la somma non è sugli interi??
sia \( \epsilon > 0 \) allora \( \sigma = 1 + \epsilon \), e prendiamo \( \varepsilon >0 \) tale che \( \epsilon - \varepsilon =: \delta > 0 \) allora
\[ \sum_{1 < \left| \rho \right| \leq R} \frac{1}{\left| \rho \right|^{\sigma} } \leq \left( \sum_{ \left| \rho \right| \leq R} 1 \right) \frac{1}{\left| R \right|^{\sigma} } + \int_1^R \frac{ \left( \sum_{ \left| \rho \right| \leq x} 1 \right) }{x^{2+\epsilon}} dx \]
\[ \ll \frac{R^{\sigma}}{\left| R \right|^{\sigma} } + (1+\epsilon) \int_1^R \frac{ x^{1+\varepsilon} }{x^{2+\epsilon}} dx \]
\[ = 1 + (1+\epsilon) \int_1^R \frac{1 }{x^{1+\delta}} dx \]
\[ = 1 + (1+\epsilon) \frac{1}{\delta} = O(1)\]
Possibile problema: Abel funziona se la somma non è sugli interi??
Forse è sugli interi. Perché so che siccome una funzione olomorfa e intera ha zeri isolati allora in ogni compatto ci sono al più un numero finito di zeri.
Pertanto in \( B_{R}(0) \) avremmo \(n(R)\) zeri. Quindi definiamo un ordine degli zeri della zeta e una successione
\[ a_n = \frac{1}{\left| \rho_n \right|^{\sigma} } \]
se \( \left| \rho_n \right| \leq R \). Abbiamo dunque che per \(n(R) < R < n(R) +1 \) allora
\[ \sum_{ 1 < n \leq R} a_n = \sum_{ 1 < n \leq R} \frac{1}{\left| \rho_n \right|^{\sigma}} \]
dite che funziona?
Ora la funzione \( \xi \) di Riemann ha zeri esattamente negli zeri non banali della \( \zeta \) di Riemann, la prima è intera quindi possiamo fare sta cosa.
Pertanto in \( B_{R}(0) \) avremmo \(n(R)\) zeri. Quindi definiamo un ordine degli zeri della zeta e una successione
\[ a_n = \frac{1}{\left| \rho_n \right|^{\sigma} } \]
se \( \left| \rho_n \right| \leq R \). Abbiamo dunque che per \(n(R) < R < n(R) +1 \) allora
\[ \sum_{ 1 < n \leq R} a_n = \sum_{ 1 < n \leq R} \frac{1}{\left| \rho_n \right|^{\sigma}} \]
dite che funziona?
Ora la funzione \( \xi \) di Riemann ha zeri esattamente negli zeri non banali della \( \zeta \) di Riemann, la prima è intera quindi possiamo fare sta cosa.
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