Somma con anomalia in serie Fourier
Salve,
risolvendo un esercizio, cercando poi in rete riscontri, ho trovato una valanga di discordanze.
Ho la serie:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x)$
La soluzione che trovo molto semplice è la seguente:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) - \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx)$
Cercando di qui e di là scopro che vi sono svariate "visioni" riguardo questa asserzione:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) = \frac{\pi-x}{2}$
Altri testi forniscono come soluzione $pi/2$
In aggiunta potrei dire che la serie potrebbe essere uguale a:
$\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)}\sin((2n+1)x)$
che dovrebbe appunto essere uguale a $pi/4$
(componenti dispari ed indice traslato di una unità indietro)
Mi chiedo ma....dove sta l'errore?
Provo a dire una corbelleria :
l'intervallo di definizione forse?
Grazie a tutti
risolvendo un esercizio, cercando poi in rete riscontri, ho trovato una valanga di discordanze.
Ho la serie:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x)$
La soluzione che trovo molto semplice è la seguente:
$\sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) - \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx)$
Cercando di qui e di là scopro che vi sono svariate "visioni" riguardo questa asserzione:
$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) = \frac{\pi-x}{2}$
Altri testi forniscono come soluzione $pi/2$
In aggiunta potrei dire che la serie potrebbe essere uguale a:
$\sum_{n=0}^\infty \frac1{(2n+1)}\sin((2n+1)x)$
che dovrebbe appunto essere uguale a $pi/4$
(componenti dispari ed indice traslato di una unità indietro)
Mi chiedo ma....dove sta l'errore?
Provo a dire una corbelleria :
l'intervallo di definizione forse?
Grazie a tutti
Risposte
...
Ciao Gandalf73,
La serie in questione $ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) $ (od anche l'altra che hai scritto) potrebbe essere la serie di Fourier della funzione
$ f(x) = {(- pi/4 \text{ se } -\pi < x < 0),(\pi/4 \text{ se } 0 < x < \pi):} $
opportunamente periodicizzata.
La serie in questione $ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) $ (od anche l'altra che hai scritto) potrebbe essere la serie di Fourier della funzione
$ f(x) = {(- pi/4 \text{ se } -\pi < x < 0),(\pi/4 \text{ se } 0 < x < \pi):} $
opportunamente periodicizzata.
Ciao Pillo, hai perfettamente ragione ed anche a me torna così.
Oppure potrebbe essere lo sviluppo in serie della funzione $sgn(x)$ (a meno di costanti moltiplicative).
Tutto dipende dall'intervallo di definizione della $ f(x) $ o dal prolungamento opportuno che se ne fa.
Sin qui tutti d'accordo e da ricerche per la rete i conti tornano in modo nitido partendo appunto dalla definizione.
Laddove mi imbatto nella "nebbia" è però un altro punto facendo il percorso a ritroso.
Per calcolarne la somma, questo modo mi sembra il più semplice e chiaro:
$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) - \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx) $.
Ora basta conoscere la somma del primo elemento al secondo membro e poi sottrarla alla stessa diviso 2.
Qui sorgono i pasticci (e le incongruenze).
Perchè la somma della serie di partenza sia $ pi/4 $ occorre che
$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) = pi/2 $.
Invece dalle ricerche per il web ,
sembra quasi unanime il fatto che
$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) =(pi-x)/2 $ che porta alla conclusione :$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x)=(pi-x)/4$
Dove sta il pasticcio?
O sbaglio qualcosa prima (partendo dalla definizione) che conduce allo sviluppo la cui somma è $ pi/4 $ o commetto qualche errore dopo partendo dall'espressione della serie, cercando di trovarne la somma e da essa dedurre poi come potrebbe essere la definizione della $ f(x) $.
In buona sostanza ripercorrendo il tutto in senso inverso non arrivo al medesimo risultato.Why?
(non so se ho chiarito il problema che mi si è posto dinanzi)
Oppure potrebbe essere lo sviluppo in serie della funzione $sgn(x)$ (a meno di costanti moltiplicative).
Tutto dipende dall'intervallo di definizione della $ f(x) $ o dal prolungamento opportuno che se ne fa.
Sin qui tutti d'accordo e da ricerche per la rete i conti tornano in modo nitido partendo appunto dalla definizione.
Laddove mi imbatto nella "nebbia" è però un altro punto facendo il percorso a ritroso.
Per calcolarne la somma, questo modo mi sembra il più semplice e chiaro:
$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) - \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx) $.
Ora basta conoscere la somma del primo elemento al secondo membro e poi sottrarla alla stessa diviso 2.
Qui sorgono i pasticci (e le incongruenze).
Perchè la somma della serie di partenza sia $ pi/4 $ occorre che
$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) = pi/2 $.
Invece dalle ricerche per il web ,
sembra quasi unanime il fatto che
$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(nx) =(pi-x)/2 $ che porta alla conclusione :$ \sum_{n=1}^\infty \frac1{(2n-1)}\sin((2n-1)x)=(pi-x)/4$
Dove sta il pasticcio?
O sbaglio qualcosa prima (partendo dalla definizione) che conduce allo sviluppo la cui somma è $ pi/4 $ o commetto qualche errore dopo partendo dall'espressione della serie, cercando di trovarne la somma e da essa dedurre poi come potrebbe essere la definizione della $ f(x) $.
In buona sostanza ripercorrendo il tutto in senso inverso non arrivo al medesimo risultato.Why?
(non so se ho chiarito il problema che mi si è posto dinanzi)
Ho capito l'errore.
$ \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx) = (pi-2x)/4 $ e non $ (pi-x)/4 $.
Eseguendo i calcoli opportuni, la somma della serie è $pi/4$ esattamente come dovrebbe ed in perfetta aderenza con tutto il resto....
$ \frac1\2 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\sin(2nx) = (pi-2x)/4 $ e non $ (pi-x)/4 $.
Eseguendo i calcoli opportuni, la somma della serie è $pi/4$ esattamente come dovrebbe ed in perfetta aderenza con tutto il resto....
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