Singolarità funzione olomorfa
Ciao a tutti!
Nello studiare il Teorema dei Residui è sorta questa domanda:
se f è una funzione definita in un qualche aperto (connesso) di $CC$, ivi olomorfa tranne al più in un sottoinsieme A di tale aperto che consta di tutte e sole le singolarità ISOLATE di f, è corretto affermare che A non ammette punti di accumulazione nel suddetto insieme di definizione di f? Perchè?
Grazie per l'aiuto!
Nello studiare il Teorema dei Residui è sorta questa domanda:
se f è una funzione definita in un qualche aperto (connesso) di $CC$, ivi olomorfa tranne al più in un sottoinsieme A di tale aperto che consta di tutte e sole le singolarità ISOLATE di f, è corretto affermare che A non ammette punti di accumulazione nel suddetto insieme di definizione di f? Perchè?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Hai detto tu stesso che le singolarità sono isolate, ovvero, che l'insieme delle singolarità non ha punti di accumulazione.
Perdonami se sbaglio ma (ad esempio) l'Insieme costituito da $1/n$ al variare di $n in NN$ analogamente al suddetto è costituito da punti isolati eppure ammette $0$ come punto di accumulazione.
Perdonami tu, ho detto una fesseria. Proprio il tuo esempio mi fa venire in mente che la funzione
\[
\frac{1}{\sin (\pi z^{-1})} \]
ha singolarità in \(z=\frac1n\), per \(n\in\mathbb Z\).
\[
\frac{1}{\sin (\pi z^{-1})} \]
ha singolarità in \(z=\frac1n\), per \(n\in\mathbb Z\).
Perfetto. Ora, il nostro professore ha esposto il Teorema dei Residui al finito cosi' :
f e' una funzione definita in un aperto connesso $\Omega$ ivi olomorfa tranne che in un sottoinsieme $\Sigma$ di $\Omega$ costituito di sole singolarita' finite e $D$ e' un dominio regolare (un connesso limitato che coincide con la chiusura del suo interno e la quale frontiera e' unione finita dei supporti di curve generalmente regolari) contenuto in $\Omega$ tale che la sua frontiera non incontra punti di $\Sigma$.
Sotto tali ipotesi viene affermato che l'interno di $D$ contiene un numero finito di singolarita', ma non viene spiegato perche'.
Ho pensato che ,essendo $D$ compatto, se i punti di $\Sigma$ nell'interno di $D$ fossero infiniti allora ammetterebbero un punto di accumulazione in $D$ ma da qui non so piu' che pesci prendere.
Nel caso da te proposto lo zero e' una singolarita' di f NON isolata quindi tale teorema dovrebbe essere applicato per domini non contenenti lo zero.
f e' una funzione definita in un aperto connesso $\Omega$ ivi olomorfa tranne che in un sottoinsieme $\Sigma$ di $\Omega$ costituito di sole singolarita' finite e $D$ e' un dominio regolare (un connesso limitato che coincide con la chiusura del suo interno e la quale frontiera e' unione finita dei supporti di curve generalmente regolari) contenuto in $\Omega$ tale che la sua frontiera non incontra punti di $\Sigma$.
Sotto tali ipotesi viene affermato che l'interno di $D$ contiene un numero finito di singolarita', ma non viene spiegato perche'.
Ho pensato che ,essendo $D$ compatto, se i punti di $\Sigma$ nell'interno di $D$ fossero infiniti allora ammetterebbero un punto di accumulazione in $D$ ma da qui non so piu' che pesci prendere.
Nel caso da te proposto lo zero e' una singolarita' di f NON isolata quindi tale teorema dovrebbe essere applicato per domini non contenenti lo zero.
(Non è molto importante: ciò che è importante è che il cammino che prendi racchiuda solo un numero finito di poli, altrimenti ti beccherai una somma infinita. Potresti pure enunciare il teorema così: dato un cammino \(\gamma\) che racchiude un numero finito di poli di \(f\), si ha che \(\int_\gamma f\, dz= 2\pi i\sum \mathrm{Res}\) ecc... )
Mi pare che quanto affermato sia falso e che la funzione del mio post precedente sia un controesempio: prendi \(\Omega=\mathbb C\) e \(D=\{ |z|<3/2\}\).
Mi pare che quanto affermato sia falso e che la funzione del mio post precedente sia un controesempio: prendi \(\Omega=\mathbb C\) e \(D=\{ |z|<3/2\}\).
Mmh capisco, grazie mille!
Un'ultima cosa, una curiosità: consideriamo ancora l'esempio da te suggerito; f è olomorfa in $CC$ privato delle singolarità.
Prendendo cammini che (in qualche modo) contornino "sempre più" singolarità isolate evitando $0$, dal fatto che la somma dei residui (al finito e all'infinito) eguaglia sempre zero è possibile o no affermare che la somma (infinita) dei residui delle singolarità isolate converge al valore $-Res(f,infty)$ ?
Un'ultima cosa, una curiosità: consideriamo ancora l'esempio da te suggerito; f è olomorfa in $CC$ privato delle singolarità.
Prendendo cammini che (in qualche modo) contornino "sempre più" singolarità isolate evitando $0$, dal fatto che la somma dei residui (al finito e all'infinito) eguaglia sempre zero è possibile o no affermare che la somma (infinita) dei residui delle singolarità isolate converge al valore $-Res(f,infty)$ ?
Prima di rispondere a questa domanda, ecco un link:
https://59clc.files.wordpress.com/2011/ ... alysis.pdf
Vai a pagina 224 (239 del pdf), lì puoi vedere l'enunciato standard del teorema dei residui, che si applica a funzioni meromorfe. Stando alla definizione 10.41, una funzione meromorfa ha l'insieme delle singolarità privo di punti di accumulazione (=punti limite, come li chiama il libro). Quindi in qualche modo l'esempio di \((\sin(\pi z^{-1}))^{-1}\) va escluso.
Quanto alla tua domanda, la risposta dovrebbe essere affermativa, però francamente non lo saprei dimostrare. Uno che capisce bene queste cose è Gugo, dovresti chiedere a lui.
https://59clc.files.wordpress.com/2011/ ... alysis.pdf
Vai a pagina 224 (239 del pdf), lì puoi vedere l'enunciato standard del teorema dei residui, che si applica a funzioni meromorfe. Stando alla definizione 10.41, una funzione meromorfa ha l'insieme delle singolarità privo di punti di accumulazione (=punti limite, come li chiama il libro). Quindi in qualche modo l'esempio di \((\sin(\pi z^{-1}))^{-1}\) va escluso.
Quanto alla tua domanda, la risposta dovrebbe essere affermativa, però francamente non lo saprei dimostrare. Uno che capisce bene queste cose è Gugo, dovresti chiedere a lui.
Hai ragione, ho preso una cantonata.
Grazie per il tuo aiuto Dissonance!
Grazie per il tuo aiuto Dissonance!
"AndrewA":
[...] $f$ è olomorfa in $CC$ privato delle singolarità [qui ci si riferisce alla $f(z):=1/(\sin (pi/z))$, immagino, n.d. gugo82]
Prendendo cammini che (in qualche modo) contornino "sempre più" singolarità isolate evitando $0$, dal fatto che la somma dei residui (al finito e all'infinito) eguaglia sempre zero è possibile o no affermare che la somma (infinita) dei residui delle singolarità isolate converge al valore $-Res(f,infty)$ ?
Nel caso in esame, la parte in grassetto è clamorosamente falsa.
Questo è chiaro, ho preso una cantonata.
Nel caso in cui f abbia al finito una quantità numerabile di singolarità isolate prive di punti di accumulazione (quindi l'esempio precedente non vi rientra) è possibile ottenere qualche risultato simile a quanto ho detto?
Nel caso in cui f abbia al finito una quantità numerabile di singolarità isolate prive di punti di accumulazione (quindi l'esempio precedente non vi rientra) è possibile ottenere qualche risultato simile a quanto ho detto?
"AndrewA":
Questo è chiaro, ho preso una cantonata.
Nel caso in cui f abbia al finito una quantità numerabile di singolarità isolate prive di punti di accumulazione (quindi l'esempio precedente non vi rientra) è possibile ottenere qualche risultato simile a quanto ho detto?
Siamo sempre dalle parti della "cantonata"...
Se l'insieme $Delta$ delle singolarità al finito è numerabile e senza accumulazioni, vuol dire che $Delta$ si accumula attorno a $oo$ (ovvia conseguenza del Teorema di Bolzano-Weierstrass); pertanto $oo$ è una singolarità non classificabile. E come lo definisci il residuo in $oo$ in questo caso, visto che non puoi scrivere la serie di Laurent?
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