Singolarità eliminabile (Serie di Laurent)
Ho un dubbio riguardo questa funzione, ma non sul risultato che è abbastanza banale, quanto più su un passaggio specifico. Scusate la prolissità e qualche passaggio in più, ma voglio essere sicuro di spiegarmi bene. Devo valutare il tipo di singolarità in $z=0$ della funzione:
$f(z) = z/(e^z-1)$
Posso utilizzare lo sviluppo $e^z = sum_[n=0]^(+oo) (z^n)/(n!)=1+z+z^2/2+z^3/6+...$ e quindi ottengo:
$f(z) = z* 1/([1+z+z^2/2+o(|z|^2)]-1) = 1/(1+z/2+o(|z|)) = 1/(1-[-z/2+o(|z|)]) $
Quindi se chiamo (*)$w = [-z/2+o(|z|)] $, e sapendo che $sum_[n=0]^(+oo)w^n = 1/(1-w)$ per $|w|<1$ posso scrivere:
(*)$f(z) = 1 + (-z/2+o(|z|)) + (-z/2+o(|z|))^2 + ... = 1 -z/2 + o(|z|)$
Quindi $Res_f(0) = 0$, e allora abbiamo una singolarità eliminabile.
Il mio dubbio stà nei due passaggi che ho segnato con *. Questa sostituzione posso applicarla solo perchè $wrarr0$ per $zrarr0$ o potrei farlo anche se $w$ tendesse ad un valore complesso qualsiasi (o anche $oo$).
P.S. posso dire che l'insieme di convergenza è $|z|<2$ ?
$f(z) = z/(e^z-1)$
Posso utilizzare lo sviluppo $e^z = sum_[n=0]^(+oo) (z^n)/(n!)=1+z+z^2/2+z^3/6+...$ e quindi ottengo:
$f(z) = z* 1/([1+z+z^2/2+o(|z|^2)]-1) = 1/(1+z/2+o(|z|)) = 1/(1-[-z/2+o(|z|)]) $
Quindi se chiamo (*)$w = [-z/2+o(|z|)] $, e sapendo che $sum_[n=0]^(+oo)w^n = 1/(1-w)$ per $|w|<1$ posso scrivere:
(*)$f(z) = 1 + (-z/2+o(|z|)) + (-z/2+o(|z|))^2 + ... = 1 -z/2 + o(|z|)$
Quindi $Res_f(0) = 0$, e allora abbiamo una singolarità eliminabile.
Il mio dubbio stà nei due passaggi che ho segnato con *. Questa sostituzione posso applicarla solo perchè $wrarr0$ per $zrarr0$ o potrei farlo anche se $w$ tendesse ad un valore complesso qualsiasi (o anche $oo$).
P.S. posso dire che l'insieme di convergenza è $|z|<2$ ?
Risposte
Uà, e se fai tutto 'sto casino per una singolarità eliminabile, quando devi fare i conti seri che succede?
Studiati il thread su "Zeri e Singolarità" che ho scritto. Lo trovi in cima alla pagina.
Studiati il thread su "Zeri e Singolarità" che ho scritto. Lo trovi in cima alla pagina.
Ciao gugo, come ho scritto nelle prime due righe sono stato volutamente prolisso e la mia domanda non era riferita al risultato o al modo in cui arrivarci. Ho segnato con (*) il passaggio sul quale ho un dubbio. Ho avuto modo di guardare il tuo post in passato, ma non mi pare ci sia riferimento a questo caso specifico, se mi sbaglio però potresti indicarmi in che paragrafo lo trovo?
Ripeto, non ho problemi a calcolare lo sviluppo o a determinare il tipo di singolarità, mi chiedo solo se il passaggio di sostituzione indicato sarebbe lecito anche nel caso in cui $w$ avesse limite diverso da $0$
Ripeto, non ho problemi a calcolare lo sviluppo o a determinare il tipo di singolarità, mi chiedo solo se il passaggio di sostituzione indicato sarebbe lecito anche nel caso in cui $w$ avesse limite diverso da $0$
Certo che no, non avrebbe senso.
Poi, visto che $z$ ed $e^z -1$ hanno entrambe in $0$ uno zero d'ordine $1$, il loro rapporto ha in $0$ una singolarità eliminabile.
Senza troppi patemi, semplice così.
Poi, visto che $z$ ed $e^z -1$ hanno entrambe in $0$ uno zero d'ordine $1$, il loro rapporto ha in $0$ una singolarità eliminabile.
Senza troppi patemi, semplice così.
"gugo82":
Certo che no, non avrebbe senso.
Ok allora c'è qualcosa che non ho capito. Consideriamo la funzione $f(z) = e^(1/z)$. Anche in questo potremmo subito dire che in 0 c'è una singolarità essenziale, ma permettimi di essere prolisso ( un pò meno del primo post
)Chiamiamo $w=1/z$, allora la funzione diventa $e^w$ e lo sviluppo in serie è:
$1+w+1/2 w^2 +1/6 w^3 + ... $
Sostituendo
$1+1/z+1/2 1/z^2 +1/6 1/z^3 + ... $
Lo sviluppo di Laurent è corretto (almeno penso), però in questo caso abbiamo che $wrarroo$ per $zrarr0$, quindi la sostituzione non dovrebbe essere lecita. Non capisco dove è l'errore.
Dovrei dimostrarlo calcolando direttamente i coefficienti della serie, applicando da definizione l'integrale?
Non c'è errore.
Lo sviluppo di Taylor intorno a $0$ di $e^w$ coincide con lo sviluppo in serie di Laurent intorno a $oo$.
Lo sviluppo di Taylor intorno a $0$ di $e^w$ coincide con lo sviluppo in serie di Laurent intorno a $oo$.
Ok, ho riguardato anche il tuo post relativo alle funzioni olomorfe e penso di aver capito.
Potremmo quindi dire che nel secondo esempio è possibile fare questo perchè il raggio di convergenza dello sviluppo di $e^z$ è $+oo$ , mentre nel primo non possiamo farlo perchè il raggio di convergenza è $1$?
È giusto vederla così o non c'entra niente?
Potremmo quindi dire che nel secondo esempio è possibile fare questo perchè il raggio di convergenza dello sviluppo di $e^z$ è $+oo$ , mentre nel primo non possiamo farlo perchè il raggio di convergenza è $1$?
È giusto vederla così o non c'entra niente?
No, non c'entra nulla il raggio di convergenza.
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