Singolarità.
Il seguente esercizio mi crea grattacapi, come potrei procedere lo studio?
La dispensa è lunga, però mi blocco in particolare sull'identificare i punti singolari e classificarli di $e^(1/z)/(1-z)$
L'unica cosa che sono riuscito a fare, e mi pare la più furba, è essermi ricondotto a: $sum_(n>=0)z^n*sum_(n>=0)z^(-n)/(n!)$, vorrei vedere se i termini negativi della serie di Laurent sono infiniti, ma non capisco come convenga trattare questa moltiplicazione.
La dispensa è lunga, però mi blocco in particolare sull'identificare i punti singolari e classificarli di $e^(1/z)/(1-z)$
L'unica cosa che sono riuscito a fare, e mi pare la più furba, è essermi ricondotto a: $sum_(n>=0)z^n*sum_(n>=0)z^(-n)/(n!)$, vorrei vedere se i termini negativi della serie di Laurent sono infiniti, ma non capisco come convenga trattare questa moltiplicazione.
Risposte
Ciao sgrisolo,
La funzione proposta $f(z) = e^(1/z)/(1-z) $ ha un polo semplice in $z = 1 $ ed una singolarità essenziale in $z = 0 $
Il residuo in $0$ è dato dal coefficiente del termine $1/z $ dello sviluppo in serie di Laurent intorno a $z = 0 $, che è il seguente:
$ f(z) = e^(1/z)/(1-z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} z^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n! z^n) = $
$ = (1 + z + z^2 + ... + z^n + ...)\cdot(1 + 1/z + 1/(2!z^2) + 1/(3!z^3) + ... + 1/(n!z^n) + ... ) $
Il coefficiente del termine $1/z $ è $e - 1 $, infatti si ha:
$ 1/z + 1/(2!z) + 1/(3!z) + ... + 1/(n!z) + ... = 1/z \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n!) = 1/z \cdot (\sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n!) - 1) = 1/z \cdot (e - 1) = (e - 1)/z $
La funzione proposta $f(z) = e^(1/z)/(1-z) $ ha un polo semplice in $z = 1 $ ed una singolarità essenziale in $z = 0 $
Il residuo in $0$ è dato dal coefficiente del termine $1/z $ dello sviluppo in serie di Laurent intorno a $z = 0 $, che è il seguente:
$ f(z) = e^(1/z)/(1-z) = \sum_{n = 0}^{+\infty} z^n \cdot \sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n! z^n) = $
$ = (1 + z + z^2 + ... + z^n + ...)\cdot(1 + 1/z + 1/(2!z^2) + 1/(3!z^3) + ... + 1/(n!z^n) + ... ) $
Il coefficiente del termine $1/z $ è $e - 1 $, infatti si ha:
$ 1/z + 1/(2!z) + 1/(3!z) + ... + 1/(n!z) + ... = 1/z \cdot \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/(n!) = 1/z \cdot (\sum_{n = 0}^{+\infty} 1/(n!) - 1) = 1/z \cdot (e - 1) = (e - 1)/z $
Ciao pilloeffe, grazie per la risposta. Aspettavo con ansia di poterne discutere con qualcuno 
Inizio già col primo dubbio, vorrei capire come hai fatto a intuire immediatamente che in z=0 è singolarità essenziale, la mia idea era svilupparla proprio per capire se avesse infiniti termini negativi o meno lo sviluppo di f(z), invece vedo che hai già capito la situazione a priori e non capisco come hai fatto.
Ovviamente vedo essere una singolarità, ma come fai a caratterizzarla?
Risolto questoprocedo con gli altri (dubbi) a seguire. Spero che avrai voglia di sorbirti un po' di domande
Grazie mille
PS: anzi, per non farti commentare 200 volte scrivo il secondo dubbio.
Ho capito il tuo svolgimento per trovare il residuo, che, come hai ben inteso, era una delle richieste. Ora quello che mi ha fatto incartare è stato che cercavo di uscirne con un prodotto di Cauchy tra serie e determinare il coefficiente n-1, secondo te è fattibile la strada del prodotto di C. anziché usare l'induzione come hai fatto tu? Se sì, non capisco come, perché ci ho perso su molto tempo e non sono riuscito, eppure mi sembrava fattibile
Tra l'altro riuscire ad applicare tale prodotto in tal caso mi farebbe capire quanti termini don esponente negativo avrei (me ne aspetto infiniti essendo singolarità essenziale), e prenderei due piccioni con una fava: residuo e caratterizzazione della singolarità
Inizio già col primo dubbio, vorrei capire come hai fatto a intuire immediatamente che in z=0 è singolarità essenziale, la mia idea era svilupparla proprio per capire se avesse infiniti termini negativi o meno lo sviluppo di f(z), invece vedo che hai già capito la situazione a priori e non capisco come hai fatto.
Ovviamente vedo essere una singolarità, ma come fai a caratterizzarla?
Risolto questoprocedo con gli altri (dubbi) a seguire. Spero che avrai voglia di sorbirti un po' di domande
Grazie mille
PS: anzi, per non farti commentare 200 volte scrivo il secondo dubbio.
Ho capito il tuo svolgimento per trovare il residuo, che, come hai ben inteso, era una delle richieste. Ora quello che mi ha fatto incartare è stato che cercavo di uscirne con un prodotto di Cauchy tra serie e determinare il coefficiente n-1, secondo te è fattibile la strada del prodotto di C. anziché usare l'induzione come hai fatto tu? Se sì, non capisco come, perché ci ho perso su molto tempo e non sono riuscito, eppure mi sembrava fattibile
Tra l'altro riuscire ad applicare tale prodotto in tal caso mi farebbe capire quanti termini don esponente negativo avrei (me ne aspetto infiniti essendo singolarità essenziale), e prenderei due piccioni con una fava: residuo e caratterizzazione della singolarità
Osserva che, proprio per com’è definito il prodotto di Cauchy, se moltiplichi una funzione regolare in $z_0$ con una avente una singolarità essenziale in $z_0$ ottieni sempre una funzione che ha una singolarità essenziale in $z_0$.
Nel tuo caso, $f(z)$ è il prodotto di $1/(1-z)$, regolare intorno a $z_0=0$, e di $e^(1/z)$, che ha in $z_0=0$ una singolarità essenziale; dunque...
Nel tuo caso, $f(z)$ è il prodotto di $1/(1-z)$, regolare intorno a $z_0=0$, e di $e^(1/z)$, che ha in $z_0=0$ una singolarità essenziale; dunque...
Dunque avrà singolarità essenziale in $z_0$. 
. Non ci avevo proprio pensato, lo ammetto.
Resta però il punto più tecnico che... mi piacerebbe scrivere il prodotto di Cauchy per quelle due serie e non mi viene, è la prima volta che lo incontro espressamente in un esercizio e vorrei riuscirci
Grazie ancora
. Non ci avevo proprio pensato, lo ammetto.Resta però il punto più tecnico che... mi piacerebbe scrivere il prodotto di Cauchy per quelle due serie e non mi viene, è la prima volta che lo incontro espressamente in un esercizio e vorrei riuscirci
Grazie ancora
Innanzitutto, tieni presente che, come al solito con le somme e (a maggior ragione) con le serie, molte volte determinare un’espressione esplicita per i coefficienti provenienti da un prodotto di Cauchy è impossibile.
Ci si riesce, a volte, fortunosamente solo per alcuni coefficienti.
Prendiamo il tuo caso, in cui dovevi calcolare il prodotto di Cauchy delle serie $sum_(n=0)^oo z^n$ e $sum_(n=0)^oo 1/(n!)*1/z^n$.
Per definizione il prodotto di due serie bilatere $sum_(n in ZZ) a_n z^n$ e $ sum_(n in ZZ) b_n z^n$ è dato da $sum_(n in ZZ) c_n z^n = sum_(n in ZZ) ( sum_(h+k=n) a_h*b_k)\ z^n$: nel tuo caso:
\[
\begin{split}
a_n &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n <0 \\ 1 &\text{, se } n\geq 0\end{cases} \\
b_n &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n > 0 \\ \frac{1}{(-n)!} &\text{, se } n\leq 0\end{cases}
\end{split}
\]
ed i coefficienti del prodotto di Cauchy sono dati da:
\[
\begin{split}
c_n &= \sum_{h+k=n} a_hb_k \\
&= \sum_{h=-\infty}^{+\infty} a_h b_{n-h} \; .
\end{split}
\]
Visto che $a_h !=0$ solo per $h>=0$ e che $b_(n-h)!=0$ solo se $n-h<=0$, i.e. $h>=n$, abbiamo:
\[
c_n = \sum_{h=\max \{ 0,n\} }^{+\infty} a_h b_{n-h}
\]
e possiamo distinguere i casi:
Ci si riesce, a volte, fortunosamente solo per alcuni coefficienti.
Prendiamo il tuo caso, in cui dovevi calcolare il prodotto di Cauchy delle serie $sum_(n=0)^oo z^n$ e $sum_(n=0)^oo 1/(n!)*1/z^n$.
Per definizione il prodotto di due serie bilatere $sum_(n in ZZ) a_n z^n$ e $ sum_(n in ZZ) b_n z^n$ è dato da $sum_(n in ZZ) c_n z^n = sum_(n in ZZ) ( sum_(h+k=n) a_h*b_k)\ z^n$: nel tuo caso:
\[
\begin{split}
a_n &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n <0 \\ 1 &\text{, se } n\geq 0\end{cases} \\
b_n &:= \begin{cases} 0 &\text{, se } n > 0 \\ \frac{1}{(-n)!} &\text{, se } n\leq 0\end{cases}
\end{split}
\]
ed i coefficienti del prodotto di Cauchy sono dati da:
\[
\begin{split}
c_n &= \sum_{h+k=n} a_hb_k \\
&= \sum_{h=-\infty}^{+\infty} a_h b_{n-h} \; .
\end{split}
\]
Visto che $a_h !=0$ solo per $h>=0$ e che $b_(n-h)!=0$ solo se $n-h<=0$, i.e. $h>=n$, abbiamo:
\[
c_n = \sum_{h=\max \{ 0,n\} }^{+\infty} a_h b_{n-h}
\]
e possiamo distinguere i casi:
- [*:17gvbd0q] $n>=0$: in tal caso:
\[
c_n = \sum_{h= n }^{+\infty} \frac{1}{(h-n)!} = \sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{j!} = e \; ;
\]
[/*:m:17gvbd0q]
[*:17gvbd0q] $n<0$: in questo caso:
\[
c_n = \sum_{h=0 }^{+\infty} \frac{1}{(h-n)!} = \sum_{j=-n}^{+\infty} \frac{1}{j!} = e - s_{-n-1}\; ,
\]
in cui $s_m$ è la $m$-esima somma parziale della serie esponenziale (che non si esprime in forma chiusa);[/*:m:17gvbd0q][/list:u:17gvbd0q]
dunque il prodotto di Cauchy si scrive:
\[
\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n\ z^n = \underbrace{ \sum_{n = 0}^{+\infty} e \ z^n}_{\text{parte regolare}} +\underbrace{ \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( e - s_{n-1}\right)\ \frac{1}{z^n}}_{\text{parte singolare}} \; .
\]
Rimango sempre colpito dalla chiarezza delle tue risposte. Mi torna tutto, grazie mille!
Buon venerdì
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