Serie Fourier
Salve, come posso trovare la serie di Fourier in forma trigonometria partendo dalla forma esponenziale (attraverso formule di Eulero)?
Potreste illustrarmi i passaggi, grazie
Potreste illustrarmi i passaggi, grazie
Risposte
Grazie mille, a me però servirebbe il procedimento inverso: da esponenziale a trigonometrica
Fai un esempio, ti apparirà tutto abbastanza chiaro.
Non avete a disposizione una dimostrazione per passare dalla formula esponenziale alla trigonometrica? Ho trovato solo il viceversa
Inverti il risultato.
Se hai già le formule, è algebra da primo superiore più qualche coniugato. Prova!
Se hai già le formule, è algebra da primo superiore più qualche coniugato. Prova!
È una dimostrazione valida andare a invertire semplicemente il risultato?
"_Ronaldo_CR7-":
È una dimostrazione valida andare a invertire semplicemente il risultato?
Andare ad invertire semplicemente la forma algebrica del teorema di Pitagora è una dimostrazione valida del fatto che il quadrato della lunghezza di un cateto sia uguale alla differenza dei quadrati delle lunghezze dell'ipotenusa e dell'altro cateto?
O, come direbbe un americano: Does a bear shit in the woods?
Ok, proverò
"_Ronaldo_CR7-":
Non avete a disposizione una dimostrazione per passare dalla formula esponenziale alla trigonometrica?
In realtà no, ma essendo un buon esercizio in effetti conviene che provi a farlo da solo, anche perché è veramente semplice, poi se non riesci siamo qui...
Comincerei con quanto già riportato sul documento al quale rimanda il link del mio post:
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \omega x} = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n e^{i n \omega x} + c_{- n} e^{- i n \omega x}) $
A questo punto, ricordando che $\theta := n \omega x $ e facendo uso delle formule di Eulero che peraltro tu stesso hai citato nell'OP...
Sì sì grazie mille, sono riuscito a ricondurmi alla formula trigonometrica andando a imporre $C_n=(a_n-ib_n)/2$ e $C_-n$ uguale al suo complesso coniugato. Sostituendo e usando la formula di Eulero come da te suggerito sono arrivato alla serie trigonometrica.
Grazie mille
Grazie mille
... Veramente avresti dovuto ottenere quanto segue:
$a_0 := c_0 $
$a_n := c_n + c_{-n} $
$b_n := i(c_n - c_{-n}) $
ove $n = 1, 2, ... $. In particolare, se $f(x) $ è una funzione reale, si ha $ c_{-n} = c_n^{\star}$
$a_0 := c_0 $
$a_n := c_n + c_{-n} $
$b_n := i(c_n - c_{-n}) $
ove $n = 1, 2, ... $. In particolare, se $f(x) $ è una funzione reale, si ha $ c_{-n} = c_n^{\star}$
Partendo dalla formula con la sommatoria di $c_n$ e $c_-n$ ho sostituito a $c_n$ $(a_n-ib_n)/2$ e a $c_-n$ il suo complesso coniugato. Ho sostituito a $e^(jnomegat)$ la formula con seno e coseno e ho fatto lo stesso per $e^(-jnomegat)$, solo con meno seno. Ho sviluppato i conti e ho trovato la formula per la serie trigonometrica.
Così facendo però hai utilizzato i risultati che si ottengono passando dalla forma trigonometrica a quella esponenziale, mentre avresti dovuto ricavarli...
Dalla
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \omega x} = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n e^{i n \omega x} + c_{- n} e^{- i n \omega x}) $
ricordando che $ \theta :=n \omega x $ e facendo uso delle formule di Eulero
$ e^{i \theta} = cos\theta + i sin\theta $
$ e^{- i \theta} = cos\theta - i sin\theta $
si ha:
$ c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n e^{i n \omega x} + c_{- n} e^{- i n \omega x}) = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n (cos\theta + i sin\theta) + c_{- n} (cos\theta - i sin\theta)) = $
$ = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} ((c_n + c_{- n})cos\theta + i(c_n - c_{- n})sin\theta ) $
A questo punto con le posizioni che ti ho già scritto nel mio post precedente si ottiene proprio
$ a_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (a_n cos\theta + b_n sin\theta ) $
Poi è chiaro che considerando il sistema
${(c_n + c_{- n} = a_n),(i(c_n - c_{-n}) = b_n):} $
${(c_n + c_{- n} = a_n),(c_n - c_{-n} = - i b_n):} $
e risolvendolo (ad esempio col metodo di somma e sottrazione, che è molto comodo nel caso specifico... ) rispetto a $c_n $ e $ c_{-n} $ si ottengono proprio le espressioni che hai scritto:
$c_n = (a_n - i b_n)/2 $
$c_{-n} = (a_n + i b_n)/2 $
Dalla
$\sum_{n = -\infty}^{+\infty} c_n e^{i n \omega x} = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n e^{i n \omega x} + c_{- n} e^{- i n \omega x}) $
ricordando che $ \theta :=n \omega x $ e facendo uso delle formule di Eulero
$ e^{i \theta} = cos\theta + i sin\theta $
$ e^{- i \theta} = cos\theta - i sin\theta $
si ha:
$ c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n e^{i n \omega x} + c_{- n} e^{- i n \omega x}) = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (c_n (cos\theta + i sin\theta) + c_{- n} (cos\theta - i sin\theta)) = $
$ = c_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} ((c_n + c_{- n})cos\theta + i(c_n - c_{- n})sin\theta ) $
A questo punto con le posizioni che ti ho già scritto nel mio post precedente si ottiene proprio
$ a_0 + \sum_{n = 1}^{+\infty} (a_n cos\theta + b_n sin\theta ) $
Poi è chiaro che considerando il sistema
${(c_n + c_{- n} = a_n),(i(c_n - c_{-n}) = b_n):} $
${(c_n + c_{- n} = a_n),(c_n - c_{-n} = - i b_n):} $
e risolvendolo (ad esempio col metodo di somma e sottrazione, che è molto comodo nel caso specifico... ) rispetto a $c_n $ e $ c_{-n} $ si ottengono proprio le espressioni che hai scritto:
$c_n = (a_n - i b_n)/2 $
$c_{-n} = (a_n + i b_n)/2 $
Grazie mille
@ pilloeffe: Mi sfugge perché ricavi le formule di passaggio dai coefficienti trigonometrici a quelli esponenziali, quando la richiesta è di fare il viceversa.
Il punto è che se uno ha già dimostrato uno dei due passaggi, lo può usare per ricavare l'altro: basta invertire la corrispondenza.
Così, se ho già:
$\{(c_n = (a_n - mathbf(i) b_n)/2), (c_(-n) = (a_n + mathbf(i) b_n)/2):}$
posso ricavare $a_n$ e $b_n$ in funzione di $c_n$ e $c_(-n)$ risolvendo un sistema lineare.
P.S.: Ovviamente, qui ho pensato a cosa succede nel caso di funzioni reali; se le funzioni sono complesse, c'è da prendere un coniugato da qualche parte.
Il punto è che se uno ha già dimostrato uno dei due passaggi, lo può usare per ricavare l'altro: basta invertire la corrispondenza.
Così, se ho già:
$\{(c_n = (a_n - mathbf(i) b_n)/2), (c_(-n) = (a_n + mathbf(i) b_n)/2):}$
posso ricavare $a_n$ e $b_n$ in funzione di $c_n$ e $c_(-n)$ risolvendo un sistema lineare.
P.S.: Ovviamente, qui ho pensato a cosa succede nel caso di funzioni reali; se le funzioni sono complesse, c'è da prendere un coniugato da qualche parte.
@gugo82:
Beh, per me naturalmente la faccenda era già conclusa la riga prima di
Nel seguito ho semplicemente voluto ricavare le espressioni di $c_n $ e di $c_{-n} $ scritte dall'OP, senza considerare che avesse già dimostrato il passaggio dalla forma trigonometrica a quella esponenziale perché non so se effettivamente l'abbia fatto: poi se è così chiaramente sono utilizzabili le relazioni che si hanno già a disposizione
"gugo82":
@ pilloeffe: Mi sfugge perché ricavi le formule di passaggio dai coefficienti trigonometrici a quelli esponenziali, quando la richiesta è di fare il viceversa.
Il punto è che se uno ha già dimostrato uno dei due passaggi, lo può usare per ricavare l'altro: basta invertire la corrispondenza.
Beh, per me naturalmente la faccenda era già conclusa la riga prima di
"pilloeffe":
Poi è chiaro che considerando il sistema
Nel seguito ho semplicemente voluto ricavare le espressioni di $c_n $ e di $c_{-n} $ scritte dall'OP, senza considerare che avesse già dimostrato il passaggio dalla forma trigonometrica a quella esponenziale perché non so se effettivamente l'abbia fatto: poi se è così chiaramente sono utilizzabili le relazioni che si hanno già a disposizione
"gugo82":
Così, se ho già:
${(c_n = (a_n - mathbf(i) b_n)/2), (c_(-n) = (a_n + mathbf(i) b_n)/2):} $
posso ricavare $a_n $ e $b_n $ in funzione di $c_n $ e $c_{- n}$ risolvendo un sistema lineare.
P.S.: Ovviamente, qui ho pensato a cosa succede nel caso di funzioni reali; se le funzioni sono complesse, c'è da prendere un coniugato da qualche parte.
Eh eh eh! Tu con gli spazi di Hilbert complessi non sei mai andato d'accordo, di la verità
"dissonance":
P.S.: Ovviamente, qui ho pensato a cosa succede nel caso di funzioni reali; se le funzioni sono complesse, c'è da prendere un coniugato da qualche parte.
Eh eh eh! Tu con gli spazi di Hilbert complessi non sei mai andato d'accordo, di la verità
No, è che mi dimentico come e dove vanno le barrette...
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