Serie di Taylor per funzioni olomorfe
Ciao a tutti scusate il disturbo, ma avrei un problema riguardo ad un esercizio del mio professore volendo anche un po' banale e non riesco proprio ad uscire da un tunnel mentale che mi sta affossando:
Ho la seguente funzione: $ f(z)=e^(1/z^3)/(sin(z))^3 $ Devo determinare le sue singolarità, io so che in 0 il denominatore si annulla (oltretutto in ogni $ kpi $ si annulla quindi all'infinito ho una singolarità non isolata) mentre sempre in 0 il numeratore diverge, quindi decido di sviluppare le due parti in serie di taylor attorno a 0, mentre per il $ sen^2$ la cosa risulta facile per il numeratore avrei un $ e^(1/0)$ che diverge quindi non so proprio come poter trovare uno sviluppo. Il mio prof invece brutalmente dato che lo sviluppo dell'esponenziale è $ e^z = sum_n z^n/(n!) $ chiamo $1/z^3 h $e quindi $ e^h = sum_n h^n/(n!)$ ovvero $ è^(1/z^3)= sum_n 1/(n!*z^(-3n)$; cioè col metodo tradizionale troverei una cosa impossibile da calcolare mentre così ci riesco e quindi non riesco a capire dove sto sbagliando... grazie in anticipo a chiunque mi risponda
Ho la seguente funzione: $ f(z)=e^(1/z^3)/(sin(z))^3 $ Devo determinare le sue singolarità, io so che in 0 il denominatore si annulla (oltretutto in ogni $ kpi $ si annulla quindi all'infinito ho una singolarità non isolata) mentre sempre in 0 il numeratore diverge, quindi decido di sviluppare le due parti in serie di taylor attorno a 0, mentre per il $ sen^2$ la cosa risulta facile per il numeratore avrei un $ e^(1/0)$ che diverge quindi non so proprio come poter trovare uno sviluppo. Il mio prof invece brutalmente dato che lo sviluppo dell'esponenziale è $ e^z = sum_n z^n/(n!) $ chiamo $1/z^3 h $e quindi $ e^h = sum_n h^n/(n!)$ ovvero $ è^(1/z^3)= sum_n 1/(n!*z^(-3n)$; cioè col metodo tradizionale troverei una cosa impossibile da calcolare mentre così ci riesco e quindi non riesco a capire dove sto sbagliando... grazie in anticipo a chiunque mi risponda
Risposte
La singolarità è essenziale, c'è poco da sviluppare...
Moltiplicando secondo Cauchy uno sviluppo di Laurent con infiniti termini ad esponente negativo con uno sviluppo in serie "un po' meglio" qualsiasi (Taylor o Laurent con finiti esponenti negativi, è uguale) la situazione non può mai migliorare.
Morale della favola: se una funzione $f$ è prodotto di una funzione con singolarità essenziale in $z_0$ per una regolare o con singolarità polare in $z_0$, $f$ ha ancora una singolarità essenziale in $z_0$.
Moltiplicando secondo Cauchy uno sviluppo di Laurent con infiniti termini ad esponente negativo con uno sviluppo in serie "un po' meglio" qualsiasi (Taylor o Laurent con finiti esponenti negativi, è uguale) la situazione non può mai migliorare.
Morale della favola: se una funzione $f$ è prodotto di una funzione con singolarità essenziale in $z_0$ per una regolare o con singolarità polare in $z_0$, $f$ ha ancora una singolarità essenziale in $z_0$.
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