Serie di Laurent polinomio

[frat92ds]

Buonasera a tutti,

Sto trovando delle difficoltà nel calcolare il seguente sviluppo di Laurent :

f(z) = 1/ ((z-2)*(z-5)^2) nel punto z0 =2 prima e nel punto z1=5 poi.


Ora l'ho impostata cercando di ricondurmi ad una serie geometrica manipolando la funzione al denominatore ma quel termine elevato alla seconda mi "scombina i piani " e mi blocco nella risoluzione.

Chiederei quindi un aiuto su come procedere.

Grazie a tutti della disponibilità.

[pilloeffe]

Ciao frat92ds,

Ricordati che si ha:

$\sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = 1/(1 - z) $

Per cui derivando si ha:

$ (\text{d})/(\text{d}z) \sum_{n = 0}^{+\infty} z^n = (\text{d})/(\text{d}z) [1/(1 - z)] $

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} n z^{n - 1} = 1/(1 - z)^2 = 1/(z - 1)^2 $

ovviamente per $|z| < 1 $

[pilloeffe]

Chiaramente prima devi scomporre in fratti semplici:

$f(z) = 1/((z - 2)(z - 5)^2) = (1/9)/(z - 2) - (1/9)/(z - 5) + (1/3)/(z - 5)^2 $

$f(z) = 1/((z - 2)(z - 5)^2) = (1/9)/(z - 2) - (1/9)/(z - 5) + (1/3)/(z - 5)^2 $

In $z_0 = 2$ il primo termine va già bene così e devi operare sugli altri due, in $z_1 = 5 $ vanno già bene così gli ultimi due e devi operare sul primo termine.

[frat92ds]

Chiaro, non l'avevo notata. grazie !

[frat92ds]

Una volta eseguito i vari passaggi mi risulta :
$\sum1/9*(z-2)^n-sum1/9*(z-5)^n+sum1/3*(n-1)*(z-2)^(n-1)$ ?

[pilloeffe]

Eh? Sono due sviluppi in serie di Laurent diversi, come fa a risultartene uno unico?

In $z_0 = 2 $ mi risulta lo sviluppo in serie seguente:

$f(z) = 1/(9(z - 2)) + \sum_{n = 0}^{+infty} 3^{- n - 3} (n + 2)(z - 2)^n $

In $z_1 = 5 $ invece mi risulta lo sviluppo in serie seguente:

$f(z) = 1/(3(z - 5)^2) - 1/(9(z - 5)) + \sum_{n = 0}^{+\infty} (-1)^n 3^{-n - 3} (z - 5)^n $

[frat92ds]

Accidenti, è un argomento che ancora non ho ben compreso.

Ti ringrazio del supporto intanto !