Serie di Laurent funzione iperbolica
Ciao a tutti e grazie da subito per l'attenzione
Sto affrontando alcuni esercizi sulle serie di Laurent e ne ho incontrato uno in cui mi viene richiesta la parte principale dello sviluppo della serie di Laurent di:
[tex]f(z) = \frac{1}{(1 - cosh(z))^2}[/tex]
in $z=0$
la prima tentazione che ho avuto è stata quella di sostituire $cosh(z)=t$ e riportarmi a una serie più semplice da trattare calcolando poi i residui con $t \rightarrow 1$. Però per questa strada non sono riuscito ad andare lontano... anzi
Inoltre nell'esercizio viene chiesto il raggio di convergenza della parte analitica ma non avendo ancora affrontato la prima parte non mi ci sono cimentato.
Grazie a chiunque voglia tentare di darmi una mano.
Sto affrontando alcuni esercizi sulle serie di Laurent e ne ho incontrato uno in cui mi viene richiesta la parte principale dello sviluppo della serie di Laurent di:
[tex]f(z) = \frac{1}{(1 - cosh(z))^2}[/tex]
in $z=0$
la prima tentazione che ho avuto è stata quella di sostituire $cosh(z)=t$ e riportarmi a una serie più semplice da trattare calcolando poi i residui con $t \rightarrow 1$. Però per questa strada non sono riuscito ad andare lontano... anzi
Inoltre nell'esercizio viene chiesto il raggio di convergenza della parte analitica ma non avendo ancora affrontato la prima parte non mi ci sono cimentato.
Grazie a chiunque voglia tentare di darmi una mano.
Risposte
ho provato un'altra strategia ma anche in questo caso mi trovo ad un vicolo cieco, vi spiego quello che ho fatto, nella speranza di aver evitato errori di conto così da dare un'idea delle varie vie che sto provando visto che brancolo abbastanza nel buio
ho sviluppato il quadrato al denominatore e scritto nella forma esponenziale il coseno iperbolico. Il risultato è(credo):
\[
\frac{4}{4+e^{2iz}+e^{-2iz}-4e^{iz}-4e^{-iz}}
\]
a questo punto ho pensato di scrivere gli sviluppi di Taylor dei singoli termini a denominatore e compattare laddove possibile eliminando i termini che nella sommatoria scompaiono (per semplicità di notazione lascio le sommatorie senza indice intendendo che questo corre da 0 a infinito)
\[
\frac{4}{4+\Sigma (-2)^{n+1}\frac{z^n}{n!}+8\Sigma (-1)^{n+1}\frac{z^n}{n!}}
\]
arrivato qui comunque non ho idea di come proseguire.
Mi rendo contro che probabilmente con questo metodo sto facendo una serie di conti eccessivi, ma sto provando diverse strategie per risolvere l'esercizio.
ho sviluppato il quadrato al denominatore e scritto nella forma esponenziale il coseno iperbolico. Il risultato è(credo):
\[
\frac{4}{4+e^{2iz}+e^{-2iz}-4e^{iz}-4e^{-iz}}
\]
a questo punto ho pensato di scrivere gli sviluppi di Taylor dei singoli termini a denominatore e compattare laddove possibile eliminando i termini che nella sommatoria scompaiono (per semplicità di notazione lascio le sommatorie senza indice intendendo che questo corre da 0 a infinito)
\[
\frac{4}{4+\Sigma (-2)^{n+1}\frac{z^n}{n!}+8\Sigma (-1)^{n+1}\frac{z^n}{n!}}
\]
arrivato qui comunque non ho idea di come proseguire.
Mi rendo contro che probabilmente con questo metodo sto facendo una serie di conti eccessivi, ma sto provando diverse strategie per risolvere l'esercizio.
Notiamo innanzitutto che la funzione
\[ f(z) = \frac{1}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2} \]
ha in \(z_0 = 0\) un polo quadruplo. Infatti:
\[ \lim_{z \to 0} {\frac{z^N}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2}} = \lim_{x \to 0} {\frac{z^N}{\dfrac{z^4}{4} + \operatorname {o} \left (z^5 \right)}} = 0, \qquad N > 4 \]
Dunque, ci aspettiamo che la parte principale del suo sviluppo di Laurent abbia al più i termini da \(c_{-4} \) in su (e che \(c_{-4} \neq 0\)). Detto ciò, si può procedere direttamente con la formula generale; è un po' macchinoso, ma è la strada "più pulita". In alternativa, si può notare che
\[ \frac{1}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2} = \frac{1}{4} \frac{1}{\sinh^4 \left (\dfrac{z}{2} \right)} = \frac{1}{4} \operatorname {csch}^4 \left (\frac{z}{2} \right) \]
e, ricordando che lo sviluppo di Laurent di \( \operatorname {csch} (w) \) è
\[ \operatorname {csch} (w) = \frac{1}{w} - \frac{w}{6} + \operatorname {o} \left (w^2 \right), \]
otteniamo che
\[ f(z) = \frac{1}{4} \operatorname {csch}^4 \left (\frac{z}{2} \right)= \frac{1}{4} \left ( \frac{2}{z} - \frac{z}{12} + \operatorname {o} \left (z^2 \right) \right)^4 = 4 \frac{1}{z^4} -\frac{2}{3} \frac{1}{z^2} + \frac{11}{180} + \operatorname {o} \left (z \right) \]
e quindi
\[ c_{-4} = 4, \quad c_{-3} = c_{-1} = 0, \quad c_{-2} = - \frac{2}{3} \]
\[ f(z) = \frac{1}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2} \]
ha in \(z_0 = 0\) un polo quadruplo. Infatti:
\[ \lim_{z \to 0} {\frac{z^N}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2}} = \lim_{x \to 0} {\frac{z^N}{\dfrac{z^4}{4} + \operatorname {o} \left (z^5 \right)}} = 0, \qquad N > 4 \]
Dunque, ci aspettiamo che la parte principale del suo sviluppo di Laurent abbia al più i termini da \(c_{-4} \) in su (e che \(c_{-4} \neq 0\)). Detto ciò, si può procedere direttamente con la formula generale; è un po' macchinoso, ma è la strada "più pulita". In alternativa, si può notare che
\[ \frac{1}{\left (1 - \cosh(z) \right)^2} = \frac{1}{4} \frac{1}{\sinh^4 \left (\dfrac{z}{2} \right)} = \frac{1}{4} \operatorname {csch}^4 \left (\frac{z}{2} \right) \]
e, ricordando che lo sviluppo di Laurent di \( \operatorname {csch} (w) \) è
\[ \operatorname {csch} (w) = \frac{1}{w} - \frac{w}{6} + \operatorname {o} \left (w^2 \right), \]
otteniamo che
\[ f(z) = \frac{1}{4} \operatorname {csch}^4 \left (\frac{z}{2} \right)= \frac{1}{4} \left ( \frac{2}{z} - \frac{z}{12} + \operatorname {o} \left (z^2 \right) \right)^4 = 4 \frac{1}{z^4} -\frac{2}{3} \frac{1}{z^2} + \frac{11}{180} + \operatorname {o} \left (z \right) \]
e quindi
\[ c_{-4} = 4, \quad c_{-3} = c_{-1} = 0, \quad c_{-2} = - \frac{2}{3} \]
ciao e grazie della risposta. Alla fine ero riuscito a risolvere il problema con il primo metodo che hai indicato (e un po' di lungaggini con i conti)
avrei un altro esercizio da sottoporre della cui risoluzione non sono del tutto certo ed essendo un tema analogo lo propongo in questa discussione:
Determinare la parte principale di
\[
\frac{Log(-z)}{(z^2-1)^2}
\]
nell'intorno di $z = -1$.
La procedura che ho tenuto è la seguente
$t = z+1\rightarrow f(t) =\frac{1}{(t(t-2))^2}Log(1-t)$
per quanto riguarda la parte fratta posso scomporla con i fratti semplici e determinare la serie di Laurent con centro in $t=0$
$(-1/(2t) - (1/4 + t/8 + ...))^2$
mentre lo sviluppo del $Log(1-t)$ è noto. A questo punto svolgo il quadrato e moltiplico termine a termine considerando che sono rilevanti solo quelli t.c. la potenza di t è negativa. Ottengo:
P.P. $= -1/(4t)$
coerentemente col fatto che -1 è polo di ordine 1
avrei un altro esercizio da sottoporre della cui risoluzione non sono del tutto certo ed essendo un tema analogo lo propongo in questa discussione:
Determinare la parte principale di
\[
\frac{Log(-z)}{(z^2-1)^2}
\]
nell'intorno di $z = -1$.
La procedura che ho tenuto è la seguente
$t = z+1\rightarrow f(t) =\frac{1}{(t(t-2))^2}Log(1-t)$
per quanto riguarda la parte fratta posso scomporla con i fratti semplici e determinare la serie di Laurent con centro in $t=0$
$(-1/(2t) - (1/4 + t/8 + ...))^2$
mentre lo sviluppo del $Log(1-t)$ è noto. A questo punto svolgo il quadrato e moltiplico termine a termine considerando che sono rilevanti solo quelli t.c. la potenza di t è negativa. Ottengo:
P.P. $= -1/(4t)$
coerentemente col fatto che -1 è polo di ordine 1
Guarda, conviene sempre stabilire quanti termini avrà la parte principale prima di scegliere una strada un po' più fantasiosa rispetto ad applicare la solita formula. In questo caso:
\[ f(z) = \frac{ \operatorname {Log} (-z)}{\left (z^2 - 1 \right)^2 } \]
con un cambio di variabile \( z = w + 1 \):
\[ f(w) = \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} \]
Ora lo sviluppo è centrato in \( w_0 = 0 \). D'altronde:
\[ \lim_{w \to 0} { w^N \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2}} = 0, \qquad N >1, \]
basta usare il limite notevole del logaritmo per vederlo; dunque, l'unico termine non nullo della parte principale dello sviluppo di Laurent di questa funzione sarà il termine \( c_{-1} \). Dalla teoria, sappiamo che questo è nient'altro che il residuo in \(w_0 = 0 \) della funzione, quindi:
\[ c_{-1} = \underset{w = w_0} {\operatorname{Res}} \left ( \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} \right ) = \lim_{ w \to w_0} { \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w (w - 2)^2}} = - \frac{1}{4} \]
Come vedi, in questo caso è molto più conveniente usare la formula; il termine della parte principale è soltanto il \(c_{-1} \). Detto ciò, la strada che stavi intraprendendo tu non era sbagliata. L'unica cosa che cambierei è quando hai scomposto in fratti semplici il denominatore. Non è strettamente necessario:
\[ \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} = \frac{ - w - \frac{w^2}{2} + \operatorname {o} \left (w^3 \right)}{4 w^2 \left ( 1 - \frac{w}{2} \right)^2 } = \frac{ - 1 - \frac{1}{2} w + \operatorname {o} \left (w^2 \right)}{4w} \left ( \sum_{n = 0}^{+\infty} \left ( \frac{w}{2} \right)^n \right) ^ 2 \]
Adesso, ti basta notare che l'unico termine \(\dfrac{1}{w} \) è quello che risulta dal prodotto con il termine \(0-\)esimo di quella serie geometrica e che quindi \( c_{-1} = -\dfrac{1}{4} \).
\[ f(z) = \frac{ \operatorname {Log} (-z)}{\left (z^2 - 1 \right)^2 } \]
con un cambio di variabile \( z = w + 1 \):
\[ f(w) = \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} \]
Ora lo sviluppo è centrato in \( w_0 = 0 \). D'altronde:
\[ \lim_{w \to 0} { w^N \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2}} = 0, \qquad N >1, \]
basta usare il limite notevole del logaritmo per vederlo; dunque, l'unico termine non nullo della parte principale dello sviluppo di Laurent di questa funzione sarà il termine \( c_{-1} \). Dalla teoria, sappiamo che questo è nient'altro che il residuo in \(w_0 = 0 \) della funzione, quindi:
\[ c_{-1} = \underset{w = w_0} {\operatorname{Res}} \left ( \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} \right ) = \lim_{ w \to w_0} { \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w (w - 2)^2}} = - \frac{1}{4} \]
Come vedi, in questo caso è molto più conveniente usare la formula; il termine della parte principale è soltanto il \(c_{-1} \). Detto ciò, la strada che stavi intraprendendo tu non era sbagliata. L'unica cosa che cambierei è quando hai scomposto in fratti semplici il denominatore. Non è strettamente necessario:
\[ \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} = \frac{ - w - \frac{w^2}{2} + \operatorname {o} \left (w^3 \right)}{4 w^2 \left ( 1 - \frac{w}{2} \right)^2 } = \frac{ - 1 - \frac{1}{2} w + \operatorname {o} \left (w^2 \right)}{4w} \left ( \sum_{n = 0}^{+\infty} \left ( \frac{w}{2} \right)^n \right) ^ 2 \]
Adesso, ti basta notare che l'unico termine \(\dfrac{1}{w} \) è quello che risulta dal prodotto con il termine \(0-\)esimo di quella serie geometrica e che quindi \( c_{-1} = -\dfrac{1}{4} \).
"Berationalgetreal":
...
Dalla teoria, sappiamo che questo è nient'altro che il residuo in \(w_0 = 0 \) della funzione, quindi:
\[ c_{-1} = \underset{w = w_0} {\operatorname{Res}} \left ( \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w^2 (w - 2)^2} \right ) = \lim_{ w \to w_0} { \frac{ \operatorname {Log} (1 - w)}{w (w - 2)^2}} = - \frac{1}{4} \]
...
hai ragione, non ho riflettuto sufficientemente sul fatto che se il polo è di ordine 1 è sufficiente individuare il residuo della funzione in quel polo che per definizione è il primo termine della parte principale
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