Serie di Laurent di una funzione fratta

[Cianf1]

Salve a tutti
Stavo cercando di sviluppare la seguente funzione in serie di Laurent centrata in $ z0 = 2 $.
La funzione è $ f(z) = z/((z-3)^2(z-1)) $
La funzione ha due poli: $ z1 = 3 $ di ordine $2$ e $ z2 = 1 $ che è un polo semplice.
Sono riuscito a trovare i residui per scomporla in fratti semplici, quindi:
$ f(z) = (1/4)/(z-1) + (3/2)/(z-3)^2 - (1/4)/(z-3) $
Il problema è che ora non so come andare avanti: avevo pensato di considerarla come una somma di serie geometriche, ma non so come sviluppare i singoli termini.
Qualcuno riesce a darmi una mano? Grazie mille in anticipo

[gugo82]

Dato che $f$ è regolare in $2$, la serie di Laurent in realtà è una serie di Taylor.

Scomposta $f$ in fratti, non devi far altro che esprimere i vari addendi come serie di potenze di $z-2$.
Ora, per noti fatti di Analisi I e II, hai:

$1/(z-1) = 1/(1+ (z-2)) = sum_(n=0)^oo (-1)^n (z-2)^n$

$-1/(z-3) = 1/(3-z) =1/(1-(z-2)) = sum_(n=0)^oo (z-2)^n$

$1/(z-3)^2 = (text(d))/(text(d) z) [-1/(z-3)] = sum_(n=1)^oo n(z-2)^(n-1) = sum_(n=0)^oo (n+1)(z-2)^n $

e quindi ti basta calcolare un po’ le somme dei coefficienti.

[Cianf1]

"gugo82":Dato che $f$ è regolare in $2$, la serie di Laurent in realtà è una serie di Taylor.

Scomposta $f$ in fratti, non devi far altro che esprimere i vari addendi come serie di potenze di $z-2$.
Ora, per noti fatti di Analisi I e II, hai:

$1/(z-1) = 1/(1+ (z-2)) = sum_(n=0)^oo (-1)^n (z-2)^n$

$-1/(z-3) = 1/(3-z) =1/(1-(z-2)) = sum_(n=0)^oo (z-2)^n$

$1/(z-3)^2 = (text(d))/(text(d) z) [-1/(z-3)] = sum_(n=1)^oo n(z-2)^(n-1) = sum_(n=0)^oo (n+1)(z-2)^n $

e quindi ti basta calcolare un po’ le somme dei coefficienti.

Grazie mille ieri prima di cena avevo buttato giù dei 'risultati' e noto con piacere che sono identici ai tuoi, quindi penso di aver afferrato il procedimento. Ho solo un piccolo dubbio per quanto riguarda l'ultima frase, i coefficienti $ 1/4 $, $ 3/2 $ e $ -1/4 $ vanno lasciati fuori la serie, giusto? Oppure vanno sommati in qualche modo?