Serie di Laurent della zeta di Riemann in \(s=1\).
Trova un'estensione meromorfa della \( \zeta \) su \( \Re(s) > 0 \) e dimostra che la sua serie di Laurent in \(s=1\) è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
dove
\[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}} \frac{1}{j} - \log n \right) \]
Ho un problemino con la costante di Eulero-Mascheroni e con l'O grande.
L'estensione meromorfa trovata è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
dove \( \psi (t) = t - \begin{bmatrix}
t
\end{bmatrix} - \frac{1}{2} \).
Ed è corretta (ho controllato)
Allora io ho pensato di dimostrare che
\[ \lim_{ s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) = \gamma \]
E questo dovrebbe dimostrare che la serie di Laurent della zeta centrata in \(s=1 \) è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
Ma la mia domanda è: Perché proprio un \( O(\left| s-1 \right| ) \) ??
Ad ogni modo ho proceduto così ma ottengo un \(+1\) di troppo... dove sbaglio? Non trovo l'errore.
\[ \lim_{ s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) = \frac{1}{2} - \lim_{s \to 1} s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
\[ = \frac{1}{2} - \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{2}}dt \]
\[ = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t}dt - \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{\begin{bmatrix} t\end{bmatrix}}{t^2}dt - \frac{1}{2} \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t^2}dt \right) = (\ast) \]
Pertanto calcolando i tre integrali separatamente abbiamo che
\[ \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t}dt= \log n \]
\[ \frac{1}{2}\displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t^2}dt = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2} \]
\[ \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{\begin{bmatrix} t\end{bmatrix}}{t^2}dt = \sum_{j=1}^{n-1} \int_{j}^{j+1} \frac{j}{t^2} dt = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j (j+1)} = - \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \]
dunque sostituendo otteniamo
\[(\ast) = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \left( \log n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \right) = 1 + \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} - \log(n) \right) =1+ \gamma \]
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
dove
\[ \gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}} \frac{1}{j} - \log n \right) \]
Ho un problemino con la costante di Eulero-Mascheroni e con l'O grande.
L'estensione meromorfa trovata è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{2} + \frac{1}{s-1} - s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
dove \( \psi (t) = t - \begin{bmatrix}
t
\end{bmatrix} - \frac{1}{2} \).
Ed è corretta (ho controllato)
Allora io ho pensato di dimostrare che
\[ \lim_{ s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) = \gamma \]
E questo dovrebbe dimostrare che la serie di Laurent della zeta centrata in \(s=1 \) è
\[ \zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(\left| s-1 \right| ) \]
Ma la mia domanda è: Perché proprio un \( O(\left| s-1 \right| ) \) ??
Ad ogni modo ho proceduto così ma ottengo un \(+1\) di troppo... dove sbaglio? Non trovo l'errore.
\[ \lim_{ s \to 1} \left( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right) = \frac{1}{2} - \lim_{s \to 1} s \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{s+1}}dt \]
\[ = \frac{1}{2} - \int_1^{\infty} \frac{\psi(t)}{t^{2}}dt \]
\[ = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \left( \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t}dt - \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{\begin{bmatrix} t\end{bmatrix}}{t^2}dt - \frac{1}{2} \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t^2}dt \right) = (\ast) \]
Pertanto calcolando i tre integrali separatamente abbiamo che
\[ \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t}dt= \log n \]
\[ \frac{1}{2}\displaystyle{\int_1^{n}} \frac{1}{t^2}dt = -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2} \]
\[ \displaystyle{\int_1^{n}} \frac{\begin{bmatrix} t\end{bmatrix}}{t^2}dt = \sum_{j=1}^{n-1} \int_{j}^{j+1} \frac{j}{t^2} dt = - \sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j (j+1)} = - \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \]
dunque sostituendo otteniamo
\[(\ast) = \frac{1}{2} - \lim_{n \to \infty} \left( \log n - \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} - \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} \right) = 1 + \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j} - \log(n) \right) =1+ \gamma \]
Risposte
Qui
dovrebbe essere
$$-\sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j(j+1)}=-\sum_{j=2}^n \frac{1}{j}$$
e quindi
$$1+\lim_{n \to\infty} \left(\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}-\log n\right)=1-1+\gamma=\gamma$$
ma è presto e potrei sbagliarmi (soprattutto perché traslare gli indici non ha lo stesso effetto del caffè, tutt'altro
).
"3m0o":
$$- \sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j (j+1)} = - \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{j}$$
dovrebbe essere
$$-\sum_{j=1}^{n-1} \frac{j}{j(j+1)}=-\sum_{j=2}^n \frac{1}{j}$$
e quindi
$$1+\lim_{n \to\infty} \left(\sum_{j=2}^{n} \frac{1}{j}-\log n\right)=1-1+\gamma=\gamma$$
ma è presto e potrei sbagliarmi (soprattutto perché traslare gli indici non ha lo stesso effetto del caffè, tutt'altro
).
Si dovrebbe essere quello. Grazie, lo cercavo tra i meno e i più di 1/2 pensando dovessero semplificarsi.
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