Serie di Laurent centrata in polo di ordine 2

[Bach05]

Salve a tutti. Come da titolo mi viene chiesto di determinare lo sviluppo di:

$f(z)=1/((z+2i)^2(2z+4i+1))$

centrata in $z=-2i$ che è polo di ordine 2.
Noi a lezione abbiamo visto qualche sviluppo riconducibile a serie geometrica o sviluppi di Taylor noti (funziono trigonometriche, esponenziali), ma non riesco proprio ad uscirne.

Ho provato diversi raccoglimenti per ricondurmi alla serie geometrica, ma senza risultato.
Potete darmi almeno un'idea per procedere?
Qual è o quali sono i metodi per risolvere questo tipo di esercizi?

[Luca.Lussardi]

Penso che funzioni il trucco classico che hai anche accennato, ovvero ricondursi ad una serie geometrica: $\frac{1}{2z+4i+1}=\frac{1}{1-(-2(z+2i))}$. Attenzione a verificare che possiamo metterci nelle condizioni di convergenza della serie geometrica opportuna.

[Bach05]

Ok, penso di aver capito dove sbaglio. In pratica tu hai ignorato il termine "singolare" $1/(z-2i)^2 $ e hai lavorato sul restante.

In pratica devo fare sempre così, perché poi la parte singolare la posso portare dentro la serie e aggiustando gli indici arrivo alla serie di Laurent. Mi pare chiaro, grazie!

OT: posso chiedere come fai ad evitare che le formule si sormontino col testo? Ho cercato, ma non ho trovato.

[Luca.Lussardi]

Si, puoi ignorare il primo fattore ma solo perche' e' proprio della forma $(z+2i)^n$ e tu stai cercando lo sviluppo centrato in $-2i$ per cui hai bisogno di potenze di $z+2i$. Per le formule semplicemente le scrivo lungo il testo tra dollari, come se scrivessi in latex.