Serie di Laurent, calcolo residui

[SteezyMenchi]

Salve a tutti, ho un problema con il seguente esercizio:
Per un integrale mi è richiesto di calcolare il residuo in $z= 0$ della funzione $\frac{e^zsin(z)}{z(1-cos(z)}$ tramite serie di Laurent.
Siccome mi serve il coefficiente $c_{-1}$ dello sviluppo ho pensato di sviluppare numeratore e denominatore come segue:
$f(z) = \frac{(1+z+z^2/2 + ...)(z-z^3/6+z^5/ 120+...)}{z[1-(1-z^2/2 + z^4/12+...)]} $
raccogliendo e facendo alcuni semplici conti arrivo a
$ 2 / z^2 \frac{(1+z+z^2/3+...)}{(1-z^2/12+...)}$
Come faccio a liberarmi del denominatore. La mia idea è di riuscire a trovare un fattore che moltiplicato e diviso mi dia un $1$ al denominatore, ma non penso esista
Se qualcuno ha qualche idea, non esiti a rispondermi. Ringrazio in anticipo chi si interesserà

[SteezyMenchi]

Domanda scema: ho usato lo stesso procedimento usato dal grande Pillo nel mio vecchio messaggio sulla serie di Laurent.
In pratica sono arrivato alla conclusione che quando devo invertire una serie di potenze $S_{n}$ mi basta trovare la serie $S_{n}^{\ast}$ tale che $S_n \cdot S_{n}^{\ast} = 1$ e poi mi basta svolgere quella moltiplicazione fino ad un certo ordine e eguagliare i coefficienti. Se volete posso eliminare il messaggio, siccome c'è già la soluzione di Pillo dello scorso messaggio

[pilloeffe]

Ciao SteezyMenchi,

"SteezyMenchi":ho usato lo stesso procedimento usato dal grande Pillo nel mio vecchio messaggio sulla serie di Laurent.

Grazie, troppo buono...

Posto $f(z) := \frac{e^z sin(z)}{z(1-cos(z))} $ se non ho fatto male i conti dovresti ottenere

$\text{Res}[f(z), z = 0] = 2 $

[SteezyMenchi]

Sì esatto Pillo, infatti alla fine ho ottenuto lo stesso risultato del calcolo coi residui, ovvero $2$.