Serie di laurent
Salve ragazzi, ho l'esame orale di Metodi matematici per la fisica tra pochi giorni, e ho trovato alcune difficoltà nello svolgimento del compito scritto, in particolare per due esercizi, per i quali vi chiedo aiuto 
Data la funzione del tipo $CC$ $rarr$ $CC$
$f(z)=1-cos(1/(sqrt(z)))$
-Determinarne il dominio di olomorfia e le singolarità isolate;
-Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent nell'intorno dell'origine;
-Calcolare $\int f(z) dz $ lungo la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine.
Il dominio di olomorfia dovrebbe essere $CC$ privato dell'origine, in quanto il coseno non è definito in quel punto, giusto?
Per questo motivo, essendo il punto di discontinuità di terza specie, non ho termini della parte regolare della serie di Laurent. Per quanto riguarda la parte singolare, ho che
$ c_(-n) = 1/(2i*pi) int_(C_r(0)) f(z)*(z^(n-1)) dz $
La mia domanda è: come faccio a trovare i coefficienti, se $ f(z)*z^(n-1) $ non è sommabile?
Data la funzione del tipo $CC$ $rarr$ $CC$
$f(z)=1-cos(1/(sqrt(z)))$
-Determinarne il dominio di olomorfia e le singolarità isolate;
-Calcolare lo sviluppo in serie di Laurent nell'intorno dell'origine;
-Calcolare $\int f(z) dz $ lungo la circonferenza di raggio 1 centrata nell'origine.
Il dominio di olomorfia dovrebbe essere $CC$ privato dell'origine, in quanto il coseno non è definito in quel punto, giusto?
Per questo motivo, essendo il punto di discontinuità di terza specie, non ho termini della parte regolare della serie di Laurent. Per quanto riguarda la parte singolare, ho che
$ c_(-n) = 1/(2i*pi) int_(C_r(0)) f(z)*(z^(n-1)) dz $
La mia domanda è: come faccio a trovare i coefficienti, se $ f(z)*z^(n-1) $ non è sommabile?
Risposte
Lo sviluppo di $\cos$ e' ben noto... una domanda pero': quella radice che cosa vuol dire?
Grazie per la risposta così veloce!
In che senso cosa vuol dire la radice?
Per quanto riguarda lo sviluppo del coseno, conosco quello di Taylor, ma come faccio ad applicarlo in questo caso, visto che la funzione ha solo parte singolare?
In che senso cosa vuol dire la radice?
Per quanto riguarda lo sviluppo del coseno, conosco quello di Taylor, ma come faccio ad applicarlo in questo caso, visto che la funzione ha solo parte singolare?
La funzione $\cos$ e' analitica su tutto $\mathbb C$ e si ha $\cos z=\sum_{h=0}^\infty \frac{(-1)^hz^{2h}}{(2h)!}$. Per la radice intendevo che va chiarito cosa stai intendendo: in $\mathbb C$ la radice e' una funzione a piu' valori, probabilmente con quel simbolo intendi una sua determinazione.
Ma quindi questa è applicabile anche alla mia funzione, sostituendo $ z $ con $ 1/ sqrt(z) $ ?
E questa sostituzione, non mi comporta che lo sviluppo sia non intorno a $ z = 0 $ , bensì in un "intorno di $ infty $ " ?
Grazie mille
E questa sostituzione, non mi comporta che lo sviluppo sia non intorno a $ z = 0 $ , bensì in un "intorno di $ infty $ " ?
Grazie mille
Di per se' lo sviluppo di $cos$ e' applicabile a ogni espressione del tipo $\cos(g(z))$, ma va fatta attenzione a che cosa ti chiedono. Nel tuo caso in effetti se tu metti $\frac{1}{\sqrt z}$ trovi proprio una serie di Laurent centrata in $0$ che risolve il tuo problema. Ti faccio osservare che grazie al fatto che nello sviluppo di $\cos z$ hai potenze pari di $z$ ottieni una serie di potenze a esponenti interi; per esempio lo stesso ragionamento non sarebbe applicabile se tu avessi $\sin$ invece che $\cos$.
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