Serie di Fourier

[antonio.ruta.184]

Ciao a tutti, ho alcuni dubbi sulle serie di Fourier. Il primo dubbio è il seguente, come faccio a calcolare il semiperiodo L se mi viene fornito un intervallo? Inoltre sto studiando alcuni esercizi svolti ma non riesco a capire alcune cose. Il primo esercizio dice "Sviluppare in serie di soli coseni la funzione che in [0,2] è pari a $ f(x)=1+x $" Dunque devo calcolare a0 e an, e li calcola con la formula $ (2/L)int_(0)^(L) f(x)... dx $ Un secondo esercizio mi chiede di sviluppare in soli seni la $ f(x)=1 se 0

[Exodus1]

Probabilmente la funzione è questa:




Io il periodo lo indico con $T$ non con la $L$

$T=2$

Per la componente continua hai:

\(\alpha _{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}x\left ( t \right )dt=\int_{0}^{1}\left ( 1+t \right )dt=\frac{3}{2}\)

Adesso continua tu

[antonio.ruta.184]

"Exodus":Probabilmente la funzione è questa:




Io il periodo lo indico con $T$ non con la $L$

$T=2$

Per la componente continua hai:

\(\alpha _{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}x\left ( t \right )dt=\int_{0}^{1}\left ( 1+t \right )dt=\frac{3}{2}\)

Adesso continua tu

Grazie per la risposta. Lo svolgimento mi dice $ a0=(2/L)int_(0)^(L) f(x)dx = int_(0)^(2) (1+x) dx = 4 $
Il mio problema però è sempre uno, come determinare il periodo T. Ad esempio qui nell’intervallo [0,2] si ha T=2 mentre in un altro esercizio in cui mi chiede il prolungamento dispari in un intervallo $ 5

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[Exodus1]

Mi hai mandato fuori strada dicendo di trovare solo $a_0$ e $a_n$ , quindi ho applicato senza pensare la formula per i segnali pari, ma quello non è un segnale pari
Prima di rispondere alla tua domanda, visto che ho perso tempo nella soluzione, ti posto il risultato corretto

\(\alpha _{0}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )dt=2\)
\(a_{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\pi t \right )dt=0\)
\(\beta_{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\sin \left ( k\pi t \right )dt=-\frac{2}{\pi k}\)

Serie di Fourier:

\(x\left ( t \right )=2-\sum_{k=1}^{\infty }\frac{2}{\pi k}\sin \left ( k\pi t \right )\)


Facciamo un Plot delle prime 30 armoniche:

"antor":Come si fa quindi a determinare il valore del periodo T?

Quando hai a che fare con dei segnali periodici, semplicemente calcoli la durata di un periodo.
Comunque la maniera di procedere è quella di farsi un abbozzo di grafico della funzione, se poi ti viene dato il periodo passi ai calcoli direttamente.

[Exodus1]

Anche se ripensadoci potrebbe essere un segnale triangolare di periodo $T=4$ che ha solamente i coefficienti $a_0$ e $a_n$ ovvero:




Intanto vediamo la soluzione di quest'ultimo:

\(\alpha _{0}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )dt=2\)
\(\alpha _{k}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\frac{\pi }{2} t\right )dt=\frac{4}{\pi ^{2}k^{2}}\left ( \left ( -1 \right )^{k}-1 \right )\)

Quindi la serie di Fourier:

\(x\left ( t \right )=2+\frac{4}{\pi ^{2}}\sum_{k=1}^{\infty }\frac{\left ( -1 \right )^{k}-1}{k^{2}}\cos \left ( k\frac{\pi }{2}t \right )\)

Plot delle prime 30 armoniche:




Se hai la soluzione della serie postala che cosi risaliamo al segnale.

[antonio.ruta.184]

"Exodus":Anche se ripensadoci potrebbe essere un segnale triangolare di periodo $T=4$ che ha solamente i coefficienti $a_0$ e $a_n$ ovvero:




Se hai la soluzione della serie postala che cosi risaliamo al segnale.

Non ho la soluzione completa, mi dice solo che T=2, a0=4 e an= $ (4cos(npi)-1)/(pi^2 n^2) $
Nel caso di un’altra funzione 10-x con 5

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[Exodus1]

Il coefficiente $a_0$ per caso lo divide per $2$ nella serie?

"antor":Nel caso di un’altra funzione 10-x con 5

Dovrebbe essere $T=15-5=10$ ,se la funzione è descitta per un solo periodo.
Bisogna vedere la logica che usa il libro per descrivere la funzioni, se tu scrivi solo dei frammenti del libro è arduo capire cosa intende

[antonio.ruta.184]

Purtroppo essendo delle prove d'esame ho solo i risultati ma non lo svolgimento completo. Allora mi dice che a0=4, poi chiaramente quando scrive la serie finale scrive a0/2 e quindi 2

[Exodus1]

"antor":

Non ho la soluzione completa, mi dice solo che T=2, a0=4 e an= $ (4cos(npi)-1)/(pi^2 n^2) $

Con i dati che hai messo i coefficienti $a_n = 0$
Stai facendo un gran casino fratello

"antor":Dunque devo calcolare a0 e an, e li calcola con la formula $(2/L)int_(0)^(L) f(x)... dx$

\(a_{n}=\int_{0}^{2}\left ( 1+t \right )\cos \left ( k\pi t \right )dt=0\)

C'è qualcosa che non torna

[Exodus1]

Se provo a prolungare in maniera dispari quella funzione
viene cosi:




Quindi $T=10$.
Ricordati che nel calcolo dei coefficienti c'è un fattore di scala:
$2/T=2/10=1/5$

[antonio.ruta.184]

"Exodus":Se provo a prolungare in maniera dispari quella funzione
viene cosi:




Quindi $T=10$.
Ricordati che nel calcolo dei coefficienti c'è un fattore di scala:
$2/T=2/10=1/5$

Quindi si calcola $ bn=2/Tint_(0)^(T) f(x)sin((npi x)/T) dx $ Essendo T=10 e seguendo questa formula per bn dovrei avere $ bn=1/5int_(0)^(10) (10-x)sin((npi x)/10) dx $ invece mi porta $ bn=1/5int_(5)^(15) (10-x)sin((npi x)/5) dx $
Perchè? So che sto facendo tantissime domande però quando non riesco a capire una cosa impazzisco

[Exodus1]

Fratello ti mancano le basi:

\(\omega =2\pi \frac{1}{T}=2\pi \frac{1}{10}=\frac{\pi }{5}\)

E meno male che volevi solo sapere come si calcola $T$...
Ti conviene ripassare il tutto da capo passo passo, me stai a fà diventà matto..
Comunque la prima funzione era un triangolo e la mia soluzione è quella esatta, quella del libro è sbagliata

[antonio.ruta.184]

"Exodus":Fratello ti mancano le basi:

\(\omega =2\pi \frac{1}{T}=2\pi \frac{1}{10}=\frac{\pi }{5}\)

E meno male che volevi solo sapere come si calcola $T$...
Ti conviene ripassare il tutto da capo passo passo, me stai a fà diventà matto..
Comunque la prima funzione era un triangolo e la mia soluzione è quella esatta, quella del libro è sbagliata

Perfetto, ora finalmente ho capito... L'unica cosa che non mi è chiara (poi giuro che non chiedo più nulla ) è perchè l'integrale è definito tra 5 e 15, non dovrebbe essere tra +T/2 e -T/2 (non so se ho appena detto una sciocchezza, spero di no).

[Exodus1]

Per le funzioni dispari l'integrale da calcolare è il seguente:

\(\beta _{k}=\frac{4}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}x\left ( t \right )\sin \left ( k\omega t \right )dt\)

Considera che la funzione tra $0$ e $T/2$ vale $-t$

Sostituisci i valori e calcolati l'integrale.