Serie di Fourier
Sto lavorando sul calcolo dei coefficienti di una serie di Fourier di una funzione $f$ di periodo $L$. Ho visto due modi diversi di definire i coefficienti.
Il primo secondo cui:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(\frac{2 \pi nx}{L})+\sum_{n=1}^{\infty} b_n sin(\frac{2 \pi nx}{L}) $ con $a_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x)cos(\frac{2 \pi nx}{L})$ e $b_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x) sin(\frac{2 \pi nx}{L})$
E il secondo per cui:
$f(x)=\sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n e^{\frac{2 \pi n x}{L}}$ con $c_n=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-\frac{2 \pi n x}{L}}$
Questi due modi dovrebbero equivalersi, ma non riesco a mostrare come. Il mio problema sta nel fatto che quando io sviluppo l'esponenziale ottengo $cos+i sen$ e quindi non capisco che fine fa la $i$.
Il primo secondo cui:
$f(x)= \frac{a_0}{2}+ \sum_{n=1}^{\infty} a_n cos(\frac{2 \pi nx}{L})+\sum_{n=1}^{\infty} b_n sin(\frac{2 \pi nx}{L}) $ con $a_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x)cos(\frac{2 \pi nx}{L})$ e $b_n= \frac{2}{L} \int_{-L/2}^{L/2} dx f(x) sin(\frac{2 \pi nx}{L})$
E il secondo per cui:
$f(x)=\sum_{n=- \infty}^{\infty} c_n e^{\frac{2 \pi n x}{L}}$ con $c_n=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-\frac{2 \pi n x}{L}}$
Questi due modi dovrebbero equivalersi, ma non riesco a mostrare come. Il mio problema sta nel fatto che quando io sviluppo l'esponenziale ottengo $cos+i sen$ e quindi non capisco che fine fa la $i$.
Risposte
"ludovica_97":
Il mio problema sta nel fatto che quando io sviluppo l'esponenziale ottengo cos+isen e quindi non capisco che fine fa la i.
Già che fine fà la i
Hai notato che la sommatoria si estende da \(-\infty \) a \(+\infty \)
e quindi il numero complesso viaggia a braccetto con il suo coniugato.
Cosa succede se sommo un numero complesso e il suo coniugato ?
Esempio:
\(e^{it}+e^{-it}=2cos\left ( t \right )\)
La magia è compiuta, la i è sparita
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