Serie di fourier
Ciao a tutti, qualcuno é in grado di aiutarmi con questo esercizio? 
Premetto che conosco le formule per ricavare i coefficienti ma non capisco come prolungare la funzione del periodo richiesto e determinare l espressione della serie di fourier associata (alla funzione prolungata?)
Premetto che conosco le formule per ricavare i coefficienti ma non capisco come prolungare la funzione del periodo richiesto e determinare l espressione della serie di fourier associata (alla funzione prolungata?)
Risposte
Si tratta di una funzione definita per casi:
\[ f(x) := \begin{cases} - \frac{x}{2} -1 & -2 \leq x < 0 \\ -x + 1 & 0 \leq x <1 \\ 0 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \]
Ora, prolungala
\[ f(x) := \begin{cases} - \frac{x}{2} -1 & -2 \leq x < 0 \\ -x + 1 & 0 \leq x <1 \\ 0 & 1 \leq x \leq 2 \end{cases} \]
Ora, prolungala
Beh, graficamente è semplice:
[asvg]xmin=-6; xmax=10; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
line([-2,0],[0,-1]); path([[0,1],[1,0],[2,0]]);
stroke="dodgerblue";
line([-10,0],[-8,-1]); path([[-8,1],[-7,0],[-6,0]]);
line([-6,0],[-4,-1]); path([[-4,1],[-3,0],[-2,0]]);
line([2,0],[4,-1]); path([[4,1],[5,0],[6,0]]);
line([6,0],[8,-1]); path([[8,1],[9,0],[10,0]]);
line([10,0],[12,-1]); path([[12,1],[13,0],[14,0]]);[/asvg]
Analiticamente, ricorda che una funzione è periodica di periodo $T>0$ se risulta:
\[
f(x+kT)=f(x)
\]
per ogni $k\in \mathbb{Z}$; ciò vuol dire che i valori di $f$ in ogni intervallo di ampiezza $T$, diciamo in $[kT,(k+1)T]$, possono essere ricostruiti usando i valori assunti in $[0,T]$, in $[-T/2 , T/2]$, o in qualsiasi altro intervallo di ampiezza $T$ che ti convenga.
[asvg]xmin=-6; xmax=10; ymin=-4; ymax=4;
axes("","");
strokewidth=2;
stroke="red";
line([-2,0],[0,-1]); path([[0,1],[1,0],[2,0]]);
stroke="dodgerblue";
line([-10,0],[-8,-1]); path([[-8,1],[-7,0],[-6,0]]);
line([-6,0],[-4,-1]); path([[-4,1],[-3,0],[-2,0]]);
line([2,0],[4,-1]); path([[4,1],[5,0],[6,0]]);
line([6,0],[8,-1]); path([[8,1],[9,0],[10,0]]);
line([10,0],[12,-1]); path([[12,1],[13,0],[14,0]]);[/asvg]
Analiticamente, ricorda che una funzione è periodica di periodo $T>0$ se risulta:
\[
f(x+kT)=f(x)
\]
per ogni $k\in \mathbb{Z}$; ciò vuol dire che i valori di $f$ in ogni intervallo di ampiezza $T$, diciamo in $[kT,(k+1)T]$, possono essere ricostruiti usando i valori assunti in $[0,T]$, in $[-T/2 , T/2]$, o in qualsiasi altro intervallo di ampiezza $T$ che ti convenga.
Grazie per le risposte
Graficamente il concetto é semplice peró analiticamente ancora non ho capito
Magari, guardando una risoluzione riesco a capire meglio.
Per caso potreste farmi vedere come si prolunga questa funzione? Oppure farmi qualche esempio pratico di altro tipo? (Su questa funzione sarebbe meglio )
Grazie ancora per l aiuto!
Graficamente il concetto é semplice peró analiticamente ancora non ho capito
Magari, guardando una risoluzione riesco a capire meglio.
Per caso potreste farmi vedere come si prolunga questa funzione? Oppure farmi qualche esempio pratico di altro tipo? (Su questa funzione sarebbe meglio
) Grazie ancora per l aiuto!
Nessuno può aiutarmi? 
Il prolungamento è semplicemente:
\[
\begin{split}
f(x) &:= \begin{cases} -\frac{1}{2} (x-4k) -1 &\text{, se } -2+4k
\]
Dato che $f$ non è né pari né dispari, i coefficienti di Fourier si devono calcolare tutti e, per fare ciò, basta ricorrere alle note formule:
\[
\begin{split}
a_n &= \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(x)\ \cos \left( \frac{2\pi n}{T}\ x\right)\ \text{d} x\\
b_n &= \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(x)\ \sin \left( \frac{2\pi n}{T}\ x\right)\ \text{d} x\; ,
\end{split}
\]
in cui $c \in \RR$ è un numero fissato ad arbitrio (usualmente si sceglie l'estremo inferiore dell'intervallo di base, ma si può prendere qualsiasi altro punto che renda più agevole il conto).
Per esempio, abbiamo:
\[
\begin{split}
a_0 &= \frac{2}{4}\ \int_{-2}^2 f(x)\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \text{d} x \right)\\
&= -\frac{1}{4}\\
a_n &= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \cos (n \pi/2 x)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \cos (n \pi/2 x)\ \text{d} x \right)\\
b_n &= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \sin (n \pi/2 x)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \sin (n \pi/2 x)\ \text{d} x \right)
\end{split}
\]
con gli ultimi quattro integrali che si calcolano per parti tenendo presente che $n\ne 0$.
\[
\begin{split}
f(x) &:= \begin{cases} -\frac{1}{2} (x-4k) -1 &\text{, se } -2+4k
\]
Dato che $f$ non è né pari né dispari, i coefficienti di Fourier si devono calcolare tutti e, per fare ciò, basta ricorrere alle note formule:
\[
\begin{split}
a_n &= \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(x)\ \cos \left( \frac{2\pi n}{T}\ x\right)\ \text{d} x\\
b_n &= \frac{2}{T} \int_c^{c+T} f(x)\ \sin \left( \frac{2\pi n}{T}\ x\right)\ \text{d} x\; ,
\end{split}
\]
in cui $c \in \RR$ è un numero fissato ad arbitrio (usualmente si sceglie l'estremo inferiore dell'intervallo di base, ma si può prendere qualsiasi altro punto che renda più agevole il conto).
Per esempio, abbiamo:
\[
\begin{split}
a_0 &= \frac{2}{4}\ \int_{-2}^2 f(x)\ \text{d} x\\
&= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \text{d} x \right)\\
&= -\frac{1}{4}\\
a_n &= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \cos (n \pi/2 x)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \cos (n \pi/2 x)\ \text{d} x \right)\\
b_n &= \frac{1}{2}\ \left( \int_{-2}^0 (-x/2 - 1)\ \sin (n \pi/2 x)\ \text{d} x + \int_0^1 (-x+1)\ \sin (n \pi/2 x)\ \text{d} x \right)
\end{split}
\]
con gli ultimi quattro integrali che si calcolano per parti tenendo presente che $n\ne 0$.
Grazie mille
Prego.
Comunque continuo a non capire quale fosse il problema... Dov'è che trovavi difficoltà?
Comunque continuo a non capire quale fosse il problema... Dov'è che trovavi difficoltà?
@gugo82
A dir la veritá penso che il mio dubbio era (in parte lo é ancora) di natura elementare.
Ovvero, come fare ad ottenere il prolungamento di periodo $4$ dellla funziona di partenza.
Ad esempio, nell esercizio riportato sopra, nell intervallo $-2<=x<0$ la funzione é: $-1/2 x - 1$
E tu l'hai giustamente prolungata come: $-1/2(x-4k)-1$ nel nuovo intervallo: $-2+4k
Per quanto riguarda l'intervallo, capisco che sommi il periodo $4$ sia a destra che a sinistra (peró non ho capito perché il $<=$ diventa $<$), per quanto riguarda la funzione non ho capito bene come procedere in maniera analitica per giungere a quella nuova funzione prolungata.
Io pensavo che $x$ dovesse essere sostituito con $x+4k$ ma proseguendo in questo modo otterrei $-1/2(x+4k)-1$ ed ho come il presentimento che sia sbagliato
Mi rendo conto che il mio dubbio é molto banale ma purtroppo non ho trovato dove poter approfondire questi concetti in maniera semplice e/o con esempi pratici
Comunque, ti ringrazio ancora per l'aiuto e il tempo che hai dedicato per rispondermi.
"gugo82":
Comunque continuo a non capire quale fosse il problema... Dov'è che trovavi difficoltà?
A dir la veritá penso che il mio dubbio era (in parte lo é ancora) di natura elementare.
Ovvero, come fare ad ottenere il prolungamento di periodo $4$ dellla funziona di partenza.
Ad esempio, nell esercizio riportato sopra, nell intervallo $-2<=x<0$ la funzione é: $-1/2 x - 1$
E tu l'hai giustamente prolungata come: $-1/2(x-4k)-1$ nel nuovo intervallo: $-2+4k
Per quanto riguarda l'intervallo, capisco che sommi il periodo $4$ sia a destra che a sinistra (peró non ho capito perché il $<=$ diventa $<$), per quanto riguarda la funzione non ho capito bene come procedere in maniera analitica per giungere a quella nuova funzione prolungata.
Io pensavo che $x$ dovesse essere sostituito con $x+4k$ ma proseguendo in questo modo otterrei $-1/2(x+4k)-1$ ed ho come il presentimento che sia sbagliato
Mi rendo conto che il mio dubbio é molto banale ma purtroppo non ho trovato dove poter approfondire questi concetti in maniera semplice e/o con esempi pratici
Comunque, ti ringrazio ancora per l'aiuto e il tempo che hai dedicato per rispondermi.
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