Serie di distribuzioni temperate
Vorrei chiedervi un aiuto su un esercizio che riguarda le serie di distribuzioni, dal momento che è più avanzato rispetto a quelli su cui veniamo preparati.
Data la successione di distribuzioni $ F_n=1/n sum_(k = \0)^n delta(x-k/n) $ , mi viene chiesto di stabilire se il limite per $ n |-> +∞ $ di $ F_n $ esiste, e anche quale distribuzione lo descrive.
Io ho pensato di risolverlo in questo modo, ma non è molto rigoroso e non so' se è corretto...
$ lim_(n -> +∞) 1/n int_(-∞)^(+∞)sum_(k = \0)^n delta(x-k/n) varphi(x) dx $ = $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n int_(-∞)^(+∞)delta (x-k/n) varphi(x) dx $ = $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $ ; a questo punto, dal momento che, se $ n |-> +∞ $, per ogni k esiste n infinitamente maggiore, ho pensato che tutti i termini della serie siano uguali a $ varphi(0) $ , e che quindi $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $= $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(0)=lim_(n -> +∞) 1/n n varphi(0)=varphi(0) $ , cioè la distribuzione sarebbe approssimata da $ delta (0) $ . Vorrei sapere se questo ragionamento è corretto e se è possibile invece affermare che la successione di distribuzioni converge senza dover calcolare il limite
Data la successione di distribuzioni $ F_n=1/n sum_(k = \0)^n delta(x-k/n) $ , mi viene chiesto di stabilire se il limite per $ n |-> +∞ $ di $ F_n $ esiste, e anche quale distribuzione lo descrive.
Io ho pensato di risolverlo in questo modo, ma non è molto rigoroso e non so' se è corretto...
$ lim_(n -> +∞) 1/n int_(-∞)^(+∞)sum_(k = \0)^n delta(x-k/n) varphi(x) dx $ = $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n int_(-∞)^(+∞)delta (x-k/n) varphi(x) dx $ = $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $ ; a questo punto, dal momento che, se $ n |-> +∞ $, per ogni k esiste n infinitamente maggiore, ho pensato che tutti i termini della serie siano uguali a $ varphi(0) $ , e che quindi $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $= $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(0)=lim_(n -> +∞) 1/n n varphi(0)=varphi(0) $ , cioè la distribuzione sarebbe approssimata da $ delta (0) $ . Vorrei sapere se questo ragionamento è corretto e se è possibile invece affermare che la successione di distribuzioni converge senza dover calcolare il limite
Risposte
Non ci sei.
Pensa a com’è costruito l’integrale di Riemann...
Pensa a com’è costruito l’integrale di Riemann...
Grazie mille, allora penso di aver capito. Mi stai suggerendo che $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $ è in realtà l'integrale di Riemann $ int_(0)^(1) varphi(x) dx $ e quindi l'integrale esiste perché la funzione integranda è continua. Quindi potrei pensare alla distribuzione limite come $ vartheta (x^2-x) $ ; geniale, grazie ancora. O sono sulla strada sbagliata? 
"Dal":
Grazie mille, allora penso di aver capito. Mi stai suggerendo che $ lim_(n -> +∞) 1/n sum_(k = \0)^n varphi(k/n) $ è in realtà l'integrale di Riemann $ int_(0)^(1) varphi(x) dx $ e quindi l'integrale esiste perché la funzione integranda è continua. [...]
L'idea è quella lì. Peraltro vorrei farti notare una cosa: è consuetudine dei libri di fisica lo scrivere la "azione" della delta di Dirac con quella notazione integrale che hai usato, che però è, oltreché euristica, estremamente fuorviante (infatti ti ha fatto commettere degli errori). La delta di Dirac centrata/puntata in \(x_0 \in \Omega \) (aperto regolare di \( \mathbb{R}^n\) che tu peraltro non hai nemmeno indicato) si indica con \( \delta_{x_0}\), è una distribuzione, e opera in questo modo: \[ \langle \delta_{x_0} , \varphi \rangle = \varphi(x_0) \]per \(\varphi \in C^\infty _c (\Omega)\). In particolare \[ \langle F_n , \varphi \rangle = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^n \varphi \left( \frac{k}{n} \right). \]Passando al limite ottieni l'integrale di Riemann su \( [0,1]\). Quindi chi è il limite distribuzionale di quella successione?
Solitamente consideriamo l'insieme $ Omega =mathbb{R} $, perché abbiamo dato proprio la definizione di spazio delle distribuzioni temperate come spazio dei funzionali lineari continui dallo spazio di Schwartz su $ mathbb{R} $ a $ mathbb{C} $ (anche se appunto non so se è la più generale o corretta dal punto di vista matematico). Per il limite distribuzionale scriverei $ int_(0)^(1) varphi(x) dx=int_(-∞)^(+∞) chi(-∞;0]chi[1;+∞)varphi(x) dx= langle \vartheta _{x^2-x} , \varphi \rangle $ quindi $ F_nrarr vartheta (x^2-x) $ , dove con la distribuzione $ vartheta_a $ intendo $ langlevartheta_a,varphi rangle=int_(a)^(+∞) varphi(x) dx $
Il prodotto di quelle due funzioni indicatrici (?) che hai scritto è \( = 0 \) per ogni \(x\)... poi il tuo limite dipenderebbe da \(x\)?!
Si scusa, ho invertito l'1 e lo zero nelle funzioni indicatrici, quindi $ int_(0)^(1) varphi(x) dx=int_(-∞)^(+∞) chi(-∞;1]chi[0;+∞)varphi(x) dx= langle \vartheta _{x^2-x} , \varphi \rangle $; per quanto riguarda la dipendenza dalla x, uso solo quella notazione della distribuzione $ vartheta (x^2-x) $ per indicare che l'azione della distribuzione è $ int_(0)^(1) varphi(x) dx= langle \vartheta _{x^2-x} , \varphi \rangle $, cioè l'integrale viene calcolato solo dove $ x^2-x>=0 $, come l'azione di $ vartheta_a $ corrisponde a calcolare l'integrale di $ varphi(x) $ solo dove $ x-a>=0 $. Non so se questa è la corretta notazione della distribuzione $ vartheta_a $, l'ho trovata in un esempio...
"Dal":
[...] cioè l'integrale viene calcolato solo dove $ x^2-x>=0 $, [...]
Ma questa disuguaglianza è vera sse \( x \le 0 \) e \( x \ge 1\); al massimo dovresti prendere \( x - x^2 \).
Comunque penso ti convenga semplicemente considerare il fatto che ad ogni funzione \( f \in L_{\text{loc}} ^1 (\mathbb{R} ) \) è associata una distribuzione \( \Lambda_f : \mathcal{D} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R} \) definita da \[ \varphi \mapsto \int_{\mathbb{R}} f(x) \varphi(x) \, dx. \] Nel tuo caso scegli \( f= \chi_{(0,1)} \).
Molto meglio, grazie mille
Vabbè, dai, ci sono mille modi per scrivere quella roba lì...
Il funzionale $phi \mapsto int_0^1 phi(x)\ text(d) x$ è la distribuzione regolare associata alla porta di altezza ed ampiezza unitaria centrata in $1/2$. Dunque un suo rappresentante è $text(rect)(x - 1/2)$ (in cui $text(rect)(*)$ è la porta unitaria standard centrata in $0$), o $text(u)(x) - text(u)(x - 1)$ (in cui $text(u)(*)$ è il gradino unitario), oppure \(\chi_{(0,1)}(x)\) (in cui $chi$ è una funzione caratteristica) ovvero una qualsiasi altra funzione q.o. uguale ad $1$ in $(0,1)$ e q.o. nulla fuori.
Il funzionale $phi \mapsto int_0^1 phi(x)\ text(d) x$ è la distribuzione regolare associata alla porta di altezza ed ampiezza unitaria centrata in $1/2$. Dunque un suo rappresentante è $text(rect)(x - 1/2)$ (in cui $text(rect)(*)$ è la porta unitaria standard centrata in $0$), o $text(u)(x) - text(u)(x - 1)$ (in cui $text(u)(*)$ è il gradino unitario), oppure \(\chi_{(0,1)}(x)\) (in cui $chi$ è una funzione caratteristica) ovvero una qualsiasi altra funzione q.o. uguale ad $1$ in $(0,1)$ e q.o. nulla fuori.
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