Serie complessa

[Covenant]

Ciao a tutti,
ho la seguente serie in campo complesso:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} $$
Il raggio di convergenza dovrebbe essere $R=1$. Come posso trovare esempi di punti sulla frontiera ($z$ tali per cui $\abs(z)=1$) dove la serie converge puntualmente?

[otta96]

Prova $-1$.
EDIT: Avevo letto male dal cellulare, in realtà $-1$ non funziona e non funziona nemmeno nessun complesso del tipo $e^(i*pi*q)$ con $q\inQQ$ perché definitivamente uno avrebbe la serie armonica.
Quindi va cercato un controesempio tra quelli che hanno un argomento irrazionale.

[Covenant]

"otta96":Prova $-1$.
EDIT: Avevo letto male dal cellulare, in realtà $-1$ non funziona e non funziona nemmeno nessun complesso del tipo $e^(pi*q)$ con $q\inQQ$ perché definitivamente uno avrebbe la serie armonica.
Quindi va cercato un controesempio tra quelli che hanno un argomento irrazionale.

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

[otta96]

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

Ma $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ non può funzionare, perché è $e^(i*pi/6)$.

[Covenant]

"otta96":

Infatti. Stavo pensando a $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ ma non so bene come procedere per dimostrare la convergenza.

Ma $z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac i2$ non può funzionare, perché è $e^(i*pi/6)$.

Giusto, diventa comunque l'armonica definitivamente. Non so davvero come procedere allora.

[gugo82]

Ad occhio direi che la serie non converge in alcun punto con argomento in rapporto razionale con $pi$, cioè in alcun punto del tipo \(\mathbf{e}^{\mathbf{i}\ p/q\pi}\) con $p/q in QQ$.

Pertanto proverei con qualcosa del tipo \(\mathbf{e}^{\mathbf{i}}\) o cose così.


P.S.: Funzioni a spazio lacunare... Purtroppo.

[Covenant]

Prendiamo $z=e^(i \theta \pi)$ con $\theta$ irrazionale. Ottengo:
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{i\theta \pi n!}}{n}= \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(\theta \pi n!)}{n}+i \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(\theta \pi n!)}{n} $$
Ma non so come approcciare quelle serie. Se ad esempio prendo $\theta = \frac{1}{\pi}$ il tutto si riduce a stabilire la convergenza di $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(n!)}{n} \quad \quad \quad \text{e} \quad \quad \quad \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(n!)}{n}$$.

[otta96]

Prova con $\theta=e$.

[Covenant]

"otta96":Prova con $\theta=e$.

Buona idea! Si dimostra abbastanza facilmente che $$\lim_{n} n \sin(2 \pi e n!)= 2 \pi $$ quindi $ \sin(2 \pi e n!)$ è infinitesima di ordine 1 per $n \to oo$, il che basta ad assicurare la convergenza della prima serie (il cui termine generale sarà infinitesimo di ordine 2). Come sbrigo la serie con il coseno?

[Covenant]

Qualche idea per stabilire il carattere di $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(2 \pi e n!)}{n}$$
A occhio mi sembra divergere per un ragionamento analogo a quello usato per provare il limite del seno del post sopra...

[dissonance]

Potresti provare a sommare per parti, mi ricordo che funzionava per dimostrare la convergenza di una serie molto simile a quella, vedi qui :

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencia ... Pcavan.pdf

pagina 14 (20 nella numerazione del pdf). (E' in spagnolo, spero sia comprensibile).

[otta96]

Io avevo suggerito $\theta=e$ perché avevo visto quella serie nella parte reale e mi è venuto in mente quel limite, speravo che si riuscisse a sistemare anche la parte immaginaria, ma come dici tu quella diverge, inoltre non penso sia utile la sommazione per parti in questo caso, in realtà mi sto convincendo sempre di più che non esistono punti di norma $1$ in cui converge, ma sono ben lontano a una dimostrazione o anche solo ad un approccio.

[Covenant]

Ho chiesto aiuto da un'altra parte e mi è stata data questa risposta (è in inglese):

I don't know about a specific point where it converges, but in case it helps, the series converges at almost every boundary point.

Of course Carleson's theorem says that any $L_2$ Fourier series converges almost everywhere, but that's a stupendously deep result. The same result for lacunary series is much simpler. For example, the Fejer kernel is positive, hence has bounded $L_1$norm, which implies that any $L_2$ Fourier series is Cesaro summable almost everywhere. For a lacuary series there's a tauberian theorem: Cesaro summability at a point implies convergence at that point.

In fact your series is so lacunary that getting convergence from Cesaro summability is very simple. If $n! $$|| s_mf-\sigma_{n+1}f||_{\infty}^2 \le ||f||_2^2 \sum_{k=1}^n \left| \left( \frac{k!}{(n+1)!} \right)^2 \right| \to 0 \quad \: (n \to \infty)$$

Ammetto che non mi è molto chiaro...