Serie che assomiglia a serie di Fourier ma non lo è..?
Ciao!
Sto affrontando un problema con delle condizioni al contorno. Devo cercare di determinare una funzione di due variabili $u(x,t)$, e mi sono bloccato in un punto.
Si consideri la seguente serie:
$u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x) , x in (0,1) $
$A_n$ è da determinare in base alle condizioni del problema.
Dal libro leggo scritto che tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier.
Perché?
Sapreste dirmi come mai tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier?
Una delle condizioni del mio problema è:
$u_n(x,0)= 1-x , x in (0,1)$
Dunque, semplicemente uguagliando:
$u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x)=1-x , x in (0,1) $
Chiaramente c'è qualcosa che non va, in quanto a sinistra ho il coseno che è una funzione pari, mentre $1-x$ è tutto fuorché una funzione pari.
La mia domanda messa in grassetto tuttavia rimane...
Sto affrontando un problema con delle condizioni al contorno. Devo cercare di determinare una funzione di due variabili $u(x,t)$, e mi sono bloccato in un punto.
Si consideri la seguente serie:
$u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x) , x in (0,1) $
$A_n$ è da determinare in base alle condizioni del problema.
Dal libro leggo scritto che tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier.
Perché?
Sapreste dirmi come mai tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier?
Una delle condizioni del mio problema è:
$u_n(x,0)= 1-x , x in (0,1)$
Dunque, semplicemente uguagliando:
$u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x)=1-x , x in (0,1) $
Chiaramente c'è qualcosa che non va, in quanto a sinistra ho il coseno che è una funzione pari, mentre $1-x$ è tutto fuorché una funzione pari.
La mia domanda messa in grassetto tuttavia rimane...
Risposte
"ronti":
Sapreste dirmi come mai tale serie non rappresenta uno degli sviluppi in serie di Fourier?
Ma guarda, non conosco la logica che usa il tuo libro, devi sapere che ogni
insegnante procede con le proprie masturbazioni mentali.
Nella loro testa è tutto chiaro e limpido, pensa che tristezza, sembra che hanno un gusto
sadico nei confronti dei poveri scolaretti.
Comunque il problema è vago, e si può risolvere calcolando la serie di Fourier
di quel segmento..
Calcolando i termini $A_n$ si vede facilmente che il risultato è uguale a $0$, basta che ti calcoli un semplice integrale, nella serie manca il valore medio, mentre quel segmento non può avere valore medio nullo, essendo tutto positivo, quindi sarà $1/2$.
Quella non è una serie di Fourier perché ci sono termini in $\pi/2$. Più precisamente, una serie di coseni di Fourier è una somma di termini
\[
\cos(2\pi n x),\quad x\in[0, 1].\]
Tu invece hai
\[
\cos\left[\frac \pi2(1+2n)x\right].\]
Come vedi è proprio diversa, stai sommando termini che hanno una periodicità diversa, a causa del \(\pi/2\).
@Exodus:
È il problema fondamentale della comunicazione. Chi comunica ha chiaro in testa ciò che vuole dire, ma non sempre riesce a trasmetterlo in modo chiaro. Ci sono libri scritti bene e libri scritti male, non è questione di sadismo. Non esageriamo.
\[
\cos(2\pi n x),\quad x\in[0, 1].\]
Tu invece hai
\[
\cos\left[\frac \pi2(1+2n)x\right].\]
Come vedi è proprio diversa, stai sommando termini che hanno una periodicità diversa, a causa del \(\pi/2\).
@Exodus:
Nella loro testa è tutto chiaro e limpido, pensa che tristezza, sembra che hanno un gusto
sadico nei confronti dei poveri scolaretti.
È il problema fondamentale della comunicazione. Chi comunica ha chiaro in testa ciò che vuole dire, ma non sempre riesce a trasmetterlo in modo chiaro. Ci sono libri scritti bene e libri scritti male, non è questione di sadismo. Non esageriamo.
"dissonance":
Quella non è una serie di Fourier perché ci sono termini in $\pi/2$. Più precisamente, una serie di coseni di Fourier è una somma di termini
\[
\cos(2\pi n x),\quad x\in[0, 1].\]
Tu invece hai
\[
\cos\left[\frac \pi2(1+2n)x\right].\]
Come vedi è proprio diversa, stai sommando termini che hanno una periodicità diversa, a causa del \(\pi/2\).
Okay dissonance, ma potrei benissimo avere una serie di Fourier con frequenza fondamentale diversa! Il periodo non deve essere per forza $2pi$ .
Perché una parte dell'argomento del coseno non può essere reinterpretato come frequenza fondamentale?
Ma in quel caso non sei su [0,1], sei su un altro intervallo. Vado di fretta ora
Non capisco cosa intendi dissonance
Sull'intervallo $(0, 1)$ la serie di Fourier è data da $\cos(2\pi n x)$, perché questa è la famiglia di coseni di periodo $1$. Invece, \(\cos(\tfrac\pi 2 n x)\) è una famiglia di coseni di periodo $4$. Non è una serie di Fourier su $(0,1)$. Prendi per esempio \(\cos(\tfrac\pi 2 x)\). Agli estremi dell'intervallo $(0, 1)$ assume i valori $1$ e $0$, sono diversi. Una serie di Fourier non può fare così.
"dissonance":
Sull'intervallo $(0, 1)$ la serie di Fourier è data da $\cos(2\pi n x)$, perché questa è la famiglia di coseni di periodo $1$.
Okay, ma la serie di Fourier non deve essere PER FORZA di periodo $2pi$. Provo ad illustrare meglio il mio dubbio. Cito innanzitutto la serie che stiamo considerando:
"ronti":
$ u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (pi/2+npi)x) , x in (0,1) $
$ A_n $ è da determinare in base alle condizioni del problema.
Una serie di Fourier, in generale, è una serie del tipo
$a_0/2 + sum_(n=1)^(+oo) A_n cos( (n omega_0)x) + B_n sin( (n omega_0)x)$
Con $omega_0= (2pi)/T$
La serie da me presentata e che ho adesso citato ha il coefficiente $B_n$ ed il termine $a_0$ uguali a zero. Osserviamo adesso l'argomento del coseno $cos( (pi/2+npi)x)$. Mi basta dimostrare che è della forma di $cos( (n omega_0)x)$
$ pi/2 x+npix= n omega_0x $
$omega_0 = (pi/2 x+npix)/(nx)$
$omega_0 = = pi/(2n) +pi$
Da cui posso ricavare il periodo
$omega_0 = (2pi)/T= pi/(2n) +pi$
$ rArr T= (2pi)/(pi/(2n) +pi)$
Per quale ragione non va bene scrivere:
$ { ( u_n(x,0)= sum_(n=1)^(+oo) A_n cos(nomega_0x) ),( omega_0 = = pi/(2n) +pi ),( x in (0,1) ):} $
???
Perché il periodo dipende da $n$?
Ciao ronti,
Il periodo $T$ non può dipendere da $n$, altrimenti non sarebbe costante e quindi non sarebbe un periodo...
Infatti è vero che può essere $T \ne 2\pi $, ma per definizione deve essere costante: dopo un periodo o multipli interi di esso la funzione assume il medesimo valore e pertanto si dice periodica di periodo $T$.
"ronti":
Perché il periodo dipende da $n$
Il periodo $T$ non può dipendere da $n$, altrimenti non sarebbe costante e quindi non sarebbe un periodo...
Infatti è vero che può essere $T \ne 2\pi $, ma per definizione deve essere costante: dopo un periodo o multipli interi di esso la funzione assume il medesimo valore e pertanto si dice periodica di periodo $T$.
Pilloeffe ha evidenziato una grossa incongruenza. Qui ce ne è un'altra, che in fondo è sempre la stessa cosa, da un altro punto di vista.
Okay, ma la serie di Fourier non deve essere PER FORZA di periodo $2pi$.[/quote]
Invece si. Se vuoi l'intervallo $x\in (0, 1)$, e tu lo vuoi, visto che è l'intervallo che ti ha dato il problema, il periodo è PER FORZA quello. (Scusa il maiuscolo, era per farti un po' il verso.
). Se cambi il periodo, cambi anche l'intervallo. Infatti, per definizione, una serie di Fourier sull'intervallo $(0, T)$ è una serie di funzioni $T$-periodiche.
Naturalmente nessuno ti proibisce di scrivere una serie di funzioni tipo Fourier ma con il periodo "sbagliato". E' esattamente ciò che fa il tuo libro. Basta ricordarsi che non è una serie di Fourier.
"ronti":
[quote="dissonance"]Sull'intervallo $(0, 1)$ la serie di Fourier è data da $\cos(2\pi n x)$, perché questa è la famiglia di coseni di periodo $1$.
Okay, ma la serie di Fourier non deve essere PER FORZA di periodo $2pi$.[/quote]
Invece si. Se vuoi l'intervallo $x\in (0, 1)$, e tu lo vuoi, visto che è l'intervallo che ti ha dato il problema, il periodo è PER FORZA quello. (Scusa il maiuscolo, era per farti un po' il verso.
). Se cambi il periodo, cambi anche l'intervallo. Infatti, per definizione, una serie di Fourier sull'intervallo $(0, T)$ è una serie di funzioni $T$-periodiche. Naturalmente nessuno ti proibisce di scrivere una serie di funzioni tipo Fourier ma con il periodo "sbagliato". E' esattamente ciò che fa il tuo libro. Basta ricordarsi che non è una serie di Fourier.
"pilloeffe":
Ciao ronti,
[quote="ronti"]Perché il periodo dipende da $n$
Il periodo $T$ non può dipendere da $n$[/quote]
Perfetto, grazie. Sospettavo appunto che l'incongruenza fosse dovuta a ciò (in uno studio di una funzione ciò sarebbe scontato), ma evito di sbilanciarmi perché nello studio delle serie di Fourier e delle EDP sto prendendo delle grosse cantonate.
...Cantonate che sono dovute al fatto che non ho ancora digerito molti concetti.
"dissonance":
Se vuoi l'intervallo $ x\in (0, 1) $, e tu lo vuoi, visto che è l'intervallo che ti ha dato il problema, il periodo è PER FORZA quello. (Scusa il maiuscolo, era per farti un po' il verso.
Ahahah hai fatto bene
"dissonance":
Se cambi il periodo, cambi anche l'intervallo. Infatti, per definizione, una serie di Fourier sull'intervallo $ (0, T) $ è una serie di funzioni $ T $-periodiche.
Perfetto, chiarissimo dissonance.
"Exodus":
Nella loro testa è tutto chiaro e limpido, pensa che tristezza, sembra che hanno un gusto
sadico nei confronti dei poveri scolaretti.
[ot]Questo è vero per alcuni professori, ma non è vero per la professoressa di un insegnamento che sto seguendo (e che tratta appunto le serie e le trasformate di Fourier).
E' molto in gamba, forse la professoressa migliore che abbia mai seguito.
Sono io che sono un po' tonto e non capisco al volo alcune cose
[/ot]
Prego, mi fa piacere essere stato di aiuto. Queste cose qua di cui abbiamo parlato in questo thread sono sottili, possono sfuggire facilmente.
"dissonance":
Se cambi il periodo, cambi anche l'intervallo. Infatti, per definizione, una serie di Fourier sull'intervallo $ (0, T) $ è una serie di funzioni [highlight]$ T $-periodiche[/highlight].
una serie di Fourier sull'intervallo $ (0, T) $ è una serie di funzioni $ (2pi)/T $-periodiche, o sbaglio?
Vai a vedere qualche esempio, su Wikipedia. Poi lo commentiamo e vediamo chi sbaglia.
Hai ragione dissonance, ho fatto confusione tra il periodo e la frequenza fondamentale (che dipende dal periodo)
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