Serie assolutamente convergente ma non convergente
Salve a tutti
Sto cercando un esempio come nel titolo e so da un teorema che il posto giusto dove andare a cercarlo è in uno spazio normato non completo. Dunque $\mathbb{Q}$ si presta benissimo.
Dopo un po' di ricerca in rete ho trovato un modo per costruire questo esempio ma il problema è che non sto riuscendo a metterlo in pratica. (L'esempio si trova qui https://math.stackexchange.com/question ... -sequences).
Qui si dice fondamentalmente che se prendo due numeri reali $a>0$, $b<0$ in modo che $a+b\notin\mathbb{Q}$ ed $a-b=1$ (perchè?) allora posso costruire la serie da me cercata "combinando" la serie a termini positivi che somma ad $a$ con la serie a termini negativi che somma a $b$.
Questo si può fare senza pericolo di riarrangiamenti (che normalmente cambierebbero la somma) perchè la serie combinata risulterebbe assolutamente convergente.
Domanda: Se pongo $a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ come ottengo le serie cercate?
L'unica cosa che so (e forse che serve) è che posso usare il teorema di Riemann-Dini applicato alla serie $\sum\frac{(-1)^n}{n}$. Cioè esistono due suoi riarrangiamenti che mi danno una serie con termini $a_n$ che converge ad $a$ ed una serie con termini $b_n$ che converge a $b$. Da qui non saprei continuare però. Come faccio a dire che la serie combinata ottenuta da queste è assolutamente convergente ad 1? (Come uso $a-b=1$?). Poi credo che una volta detto questo e sapendo che le due serie singolarmente convergono per costruzione, la somma della serie combinata tenderà ad $a+b$ che si è costruito irrazionale.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà
Sto cercando un esempio come nel titolo e so da un teorema che il posto giusto dove andare a cercarlo è in uno spazio normato non completo. Dunque $\mathbb{Q}$ si presta benissimo.
Dopo un po' di ricerca in rete ho trovato un modo per costruire questo esempio ma il problema è che non sto riuscendo a metterlo in pratica. (L'esempio si trova qui https://math.stackexchange.com/question ... -sequences).
Qui si dice fondamentalmente che se prendo due numeri reali $a>0$, $b<0$ in modo che $a+b\notin\mathbb{Q}$ ed $a-b=1$ (perchè?) allora posso costruire la serie da me cercata "combinando" la serie a termini positivi che somma ad $a$ con la serie a termini negativi che somma a $b$.
Questo si può fare senza pericolo di riarrangiamenti (che normalmente cambierebbero la somma) perchè la serie combinata risulterebbe assolutamente convergente.
Domanda: Se pongo $a=1-\frac{1}{\sqrt{2}}$ e $b=-\frac{1}{\sqrt{2}}$ come ottengo le serie cercate?
L'unica cosa che so (e forse che serve) è che posso usare il teorema di Riemann-Dini applicato alla serie $\sum\frac{(-1)^n}{n}$. Cioè esistono due suoi riarrangiamenti che mi danno una serie con termini $a_n$ che converge ad $a$ ed una serie con termini $b_n$ che converge a $b$. Da qui non saprei continuare però. Come faccio a dire che la serie combinata ottenuta da queste è assolutamente convergente ad 1? (Come uso $a-b=1$?). Poi credo che una volta detto questo e sapendo che le due serie singolarmente convergono per costruzione, la somma della serie combinata tenderà ad $a+b$ che si è costruito irrazionale.
Grazie in anticipo a chi mi aiuterà
Risposte
Ho letto solo fino al link per ora, ma $\sum_(i=1)^n1/(i!)$ fa al caso tuo.
"otta96":
Ho letto solo fino al link per ora, ma $\sum_(i=1)^n1/(i!)$ fa al caso tuo.
Grazie mille. Interessante risposta. Però mi sa che non funziona purtroppo per i miei scopi... Il problema è che è assolutamente convergente sì... ma non su $\mathbb{Q}$.
Mi serve che converga ad un numero irrazionale e che converga assolutamente su un numero razionale.
Quella tua converge sia semplicemente che assolutamente allo stesso numero irrazionale che è il numero di Nepero.
PS: Scusa se prima (preso dall'entusiasmo) ti avevo detto che mi andava bene... infatti mi chiedevo come mai io fossi stato tanto scemo da starci tutto il pomeriggio e non avevo pensato a una cosa così elementare
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Se $sum a_i$ converge ad $a$ ed ogni $a_i$ è positivo e $sum b_i$ converge a $b$ ed ogni $b_i$ è negativo allora la serie
$sum a_i + sum b_i$
(opportunamente definita)
converge ad $a+b$ ma la corrispondente serie dei valori assoluti converge ad $a-b$ (nota che $|b_i|=-b_i$).
$sum a_i + sum b_i$
(opportunamente definita)
converge ad $a+b$ ma la corrispondente serie dei valori assoluti converge ad $a-b$ (nota che $|b_i|=-b_i$).
[hl][/hl]
E' proprio quello che mi sfugge! A parte la costruzione esplicita (ma quella vabbè!...). Non capisco come mai la serie dei valori assoluti valga $a-b$ (supponendo opportunamente definita la somma delle serie).
Credo di aver capito che si parli della serie $$\sum{|a_n+b_n|}$$ quando si parla della convergenza assoluta ad $a-b$. Ecco perchè non mi torna.
"Martino":
la corrispondente serie dei valori assoluti converge ad $a-b$.
E' proprio quello che mi sfugge! A parte la costruzione esplicita (ma quella vabbè!...). Non capisco come mai la serie dei valori assoluti valga $a-b$ (supponendo opportunamente definita la somma delle serie).
Credo di aver capito che si parli della serie $$\sum{|a_n+b_n|}$$ quando si parla della convergenza assoluta ad $a-b$. Ecco perchè non mi torna.
No, parlo della serie
$sum |a_i| + sum |b_i|$
$sum |a_i| + sum |b_i|$
Per essere formali, proverei a considerare la serie
$sum_(i=1)^(oo) c_i$
dove $c_i$ è uguale ad $a_((i+1)/2)$ quando $i$ è dispari ed è uguale a $b_(i/2)$ quando $i$ è pari. Poi magari provo a vedere se funziona.
$sum_(i=1)^(oo) c_i$
dove $c_i$ è uguale ad $a_((i+1)/2)$ quando $i$ è dispari ed è uguale a $b_(i/2)$ quando $i$ è pari. Poi magari provo a vedere se funziona.
Sì funziona, proprio perché se una serie è assolutamente convergente allora qualsiasi permutazione degli addendi la fa convergere allo stesso numero.
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