Serie Asintotica delle Funzioni di Fermi

[Masaki1]

Una funzione di Fermi di ordine $\alpha$ è definita come:

\begin{equation}
f_{\alpha}(\xi) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_0^{+\infty} \mathcal{E}^{\alpha-1} \frac{ \xi e^{-\mathcal{E}}}{1+ \xi e^{-\mathcal{E}}} d \mathcal{E}
\end{equation}

con $\alpha>1$ e $\xi > -1$ e la si incontra in meccanica statistica quantistica quando si studiano i gas di Fermi (ovvero i gas ideali composti di fermioni) in regime di velocità classiche.

Propongo, a chi ha voglia di cimentarsi, di determinarne lo sviluppo asintotico per $\xi \to \infty$

\begin{equation}
f_{\alpha}(\xi) = \frac{2}{\Gamma(\alpha +1)} \sum_{n=0}^{+\infty} \binom{\alpha}{2n} \Gamma(2n+1) \zeta(2n) \bigg[\frac{2^{2n-1} -1}{2^{2n-1}} \bigg] \ln^{\alpha -2n}(\xi)
\end{equation}

[dissonance]

Tu stai veramente dicendo che \(\xi\) e \(\mathcal{E}\) sono due variabili diverse?

Sembra di essere dall'oculista