Sequenza di funzioni relativamente compatta
Ciao a tutti,
vorrei verificare che la sequenza di funzioni data da $\{ f_n(x) \}_n \subset C^{0} [0, 2\pi]$ data da $f_n(x)= \sin((1+\frac{1}{n})x)$ è relativamente compatta in $C^{0}$.
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Ovviamente se valgono le ipotesi di Ascoli-Arzela (poiché $C^{0} [0, 2\pi]$ con la metrica uniforme è completo) la tesi segue subito.
Serve mostrare che $\{ f_n(x) \}$ sono equicontinue ed equibounded:
Sono banalmente equibounded in quanto per ogni $n$ e per ogni $x$ dell'intervallo si ha che $| f_n(x)| \leq 1$.
Per quanto riguarda l'equicontinuità vale che
Per cui si conclude applicando AA.
Altrimenti si può usare la definizione[nota]in questo caso che ogni successioni in $C^{0} [0, 2 \pi]$ contiene una successione convergente in $C^{0}$[/nota]: data quindi la successione $\{f_n(x) \}_n= \{ \sin((1+\frac{1}{n}) x)\}_n$ posso sempre costruire una successione $\{ f_{n_k}(x) \}_k$ convergente in $C^{0}$: ad esempio se scelgo $n_k=n(k)=2k+1$ (cioè estraggo i dispari) questa successione converge comunque a $\sin(x)$.
O ci sono modi migliori per provarlo con la definizione (i.e. più formali ad esempio) ?
vorrei verificare che la sequenza di funzioni data da $\{ f_n(x) \}_n \subset C^{0} [0, 2\pi]$ data da $f_n(x)= \sin((1+\frac{1}{n})x)$ è relativamente compatta in $C^{0}$.
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Ovviamente se valgono le ipotesi di Ascoli-Arzela (poiché $C^{0} [0, 2\pi]$ con la metrica uniforme è completo) la tesi segue subito.
Serve mostrare che $\{ f_n(x) \}$ sono equicontinue ed equibounded:
Sono banalmente equibounded in quanto per ogni $n$ e per ogni $x$ dell'intervallo si ha che $| f_n(x)| \leq 1$.
Per quanto riguarda l'equicontinuità vale che
$|f_n(x)-f_n(y)| \leq \int_x^y |u_n'(t)|dt \leq (1+\frac{1}{n}) |x-y| \leq 2 |x-y|$
Per cui si conclude applicando AA.
Altrimenti si può usare la definizione[nota]in questo caso che ogni successioni in $C^{0} [0, 2 \pi]$ contiene una successione convergente in $C^{0}$[/nota]: data quindi la successione $\{f_n(x) \}_n= \{ \sin((1+\frac{1}{n}) x)\}_n$ posso sempre costruire una successione $\{ f_{n_k}(x) \}_k$ convergente in $C^{0}$: ad esempio se scelgo $n_k=n(k)=2k+1$ (cioè estraggo i dispari) questa successione converge comunque a $\sin(x)$.
O ci sono modi migliori per provarlo con la definizione (i.e. più formali ad esempio) ?
Risposte
Ma sei sicuro che il testo sia corretto? Perché così è banale, l'intera successione converge uniformemente a \( \sin(x) \) su \([0, 2 \pi ] \) e non ti serve Ascoli-Arzelà per dirlo.
Ciao Delirium,
non è il testo di un esercizio. Volevo verificare che fosse relativamente compatta con la definizione, come ho cercato di mostrare alla fine del mio post.
non è il testo di un esercizio. Volevo verificare che fosse relativamente compatta con la definizione, come ho cercato di mostrare alla fine del mio post.
Sì in effetti quindi è sufficiente dire che $\{ f_n \}$ converge uniformemente a $\sin(x)$ per mostrarne la relativa compattezza 
Un esempio molto più interessante è $\sin(x+n) $, ragiona su quello.
Ciao dissonance,
grazie per lo spunto.
Ovviamente per $\sin(x+n)$ non c'è convergenza uniforme su $[0, 2\pi]$, pertanto non si può concludere subito come prima.
Però, utilizzando AA in modo analogo a quanto fatto sopra mostrando equicontinuità della sequenza e equiboundedness, allora esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ che converge uniformemente a una funzione continua $f: [0, 2 \pi] \rightarrow RR$. La potenza del teorema è quella ovviamente di garantire l'esistenza di una tale sottosuccessione anche in casi come questo dove non c'è nemmeno convergenza uniforme.
Spero di non aver commesso inesattezze
grazie per lo spunto.
Ovviamente per $\sin(x+n)$ non c'è convergenza uniforme su $[0, 2\pi]$, pertanto non si può concludere subito come prima.
Però, utilizzando AA in modo analogo a quanto fatto sopra mostrando equicontinuità della sequenza e equiboundedness, allora esiste una sottosuccessione $f_{n_k}$ che converge uniformemente a una funzione continua $f: [0, 2 \pi] \rightarrow RR$. La potenza del teorema è quella ovviamente di garantire l'esistenza di una tale sottosuccessione anche in casi come questo dove non c'è nemmeno convergenza uniforme.
Spero di non aver commesso inesattezze
OK. Per capire bene questo teorema lo devi applicare a qualche problema concreto, calcolo delle variazioni o equazioni differenziali. P.S.: https://math.stackexchange.com/q/3052185/8157
Sì, cercavo infatti qualche applicazione "seria" (non che queste non lo siano) in rete ma ho trovato poco. Sicuramente in ottimizzazione o CdV dovrei riuscire a comprenderlo più a fondo.
Ascoli-Arzelà è usato molto anche da chi fa teoria degli operatori, leggiti roba sugli operatori di tipo Volterra. Una cosa interessante, che spesso sfugge, è che Ascoli-Arzelà è un se e solo se.
Un'applicazione notevole in Calcolo delle Variazioni è il teorema di esistenza di geodetiche in spazi metrici; è un esercizio che puoi provare a fare. Dalla teoria sulle curve sai che la lunghezza di una curva Lipschitziana \( \gamma :[a,b] \to [0,1] \times [0,1] \) è data da \[ \text{Var}(\gamma) = \int_a^b |\gamma ' | (t) \, dt = \int_a^b \sqrt{\gamma_1 ' ^2(t) + \gamma_2' ^2 (t)} \, dt; \]con Ascoli-Arzelà si può dimostrare che il problema \[ \min \{ \text{Var}(\gamma) \, : \, \gamma \in \text{Lip}([a,b],[0,1]^2) \text{ con } \gamma(a)=\mathbb{x}, \, \gamma(b)=\mathbb{y} \} \]ha soluzione (purché l'insieme delle curve Lip che connettono \(\mathbb{x} \) e \( \mathbb{y} \) sia non vuoto). Nota che \( [0,1]^2 \) può poi essere sostituito con qualsiasi spazio metrico compatto (possibilmente connesso per archi rettificabili, e introducendo un'opportuna nozione di derivata metrica).
Un'applicazione notevole in Calcolo delle Variazioni è il teorema di esistenza di geodetiche in spazi metrici; è un esercizio che puoi provare a fare. Dalla teoria sulle curve sai che la lunghezza di una curva Lipschitziana \( \gamma :[a,b] \to [0,1] \times [0,1] \) è data da \[ \text{Var}(\gamma) = \int_a^b |\gamma ' | (t) \, dt = \int_a^b \sqrt{\gamma_1 ' ^2(t) + \gamma_2' ^2 (t)} \, dt; \]con Ascoli-Arzelà si può dimostrare che il problema \[ \min \{ \text{Var}(\gamma) \, : \, \gamma \in \text{Lip}([a,b],[0,1]^2) \text{ con } \gamma(a)=\mathbb{x}, \, \gamma(b)=\mathbb{y} \} \]ha soluzione (purché l'insieme delle curve Lip che connettono \(\mathbb{x} \) e \( \mathbb{y} \) sia non vuoto). Nota che \( [0,1]^2 \) può poi essere sostituito con qualsiasi spazio metrico compatto (possibilmente connesso per archi rettificabili, e introducendo un'opportuna nozione di derivata metrica).
@feddy: Il ragionamento fatto nel post iniziale può essere abbreviato, osservando che le funzioni sono equilipschitziane e perciò equicontinue in $[0,2pi]$.
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