Separazione delle variabili per trovare le armoniche sferiche

[Newton_1372]

Supponiamo di avere un operatore F dipendente solo dagli angoli $\theta, \phi$, ma non da r.
Vogliamo risolvere l'equazione agli autovalori.
$F(\theta, \phi) \psi(r,\theta,\phi)=l(l+1)\psi(r,\theta,\phi)$.
Il mio libro, il cohen, dice che la soluzione non dipende da $r$ perche "è come se fosse un parametro". Un altro testo dice che $r$ non giocaxalcun ruolo. Ma matematicamente non mi torna: anche se l'operatore non dipende da una delle tre variabili, non potrei trovare una funzione complicata dipendente anche da r (non nel senso di $f(r)Y(\theta,\phi)$, ma in modo piu generale)?
Cosa c'è sotto questa decomposizione?

[Newton_1372]

Chiesto in un modo alternativo:
Come mai le autofunzioni del momento angolare non possono avere una dipendenza da r, ma solo da $\theta,\phi$?

[Sk_Anonymous]

Io penso che la separazione delle variabili sia semplicemente imposta dall'autore (però non ho quel libro, quindi vado a intuito basandomi su ciò che hai scritto). Cioè, nel caso più generale la soluzione dell'equazione potrebbe dipendere in maniera complicata anche da $r$, come hai osservato. Quindi, imponendo la separazione delle variabili, troverai solo alcune delle soluzioni per l'equazione agli autovalori (quelle separabili, appunto) che saranno del tipo $psi(r, \theta, \phi) = f(r)Y(\theta, \phi)$, dove le armoniche sferiche $Y(\theta, \phi)$ sono indipendenti da $r$ proprio per costruzione. Ma essendo le armoniche sferiche un insieme completo di autofunzioni nello spazio di Hilbert, potrai sempre ottenere la soluzione generale come combinazione lineare delle soluzioni separabili.