Semplicemente connesso?
\( \mathbb{C}^* \) è semplicemente connesso o no?
Io direi di no, siccome se \( f: U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso, \(f \) ammette una primitiva.
Ma \( f(z) = \frac{1}{z} \) è olomorfa su \( \mathbb{C}^* \) ma se faccio \( \oint_{\mathbb{D}} \frac{1}{z} \) non ammette una primitiva infatti
\[ \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{1}{z} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}}dt = 2\pi i \neq 0 \]
E per Morera dovremmo avere che siccome \( \frac{1}{z} \) è continua in \( \mathbb{D} \setminus {0} \) allora \( \frac{1}{z} \) ammette primitiva se e solo se l'integrale è zero su ogni cammino contenuto in \( \mathbb{D} \setminus {0} \)
Io direi di no, siccome se \( f: U \to \mathbb{C} \) è una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso, \(f \) ammette una primitiva.
Ma \( f(z) = \frac{1}{z} \) è olomorfa su \( \mathbb{C}^* \) ma se faccio \( \oint_{\mathbb{D}} \frac{1}{z} \) non ammette una primitiva infatti
\[ \oint_{\partial \mathbb{D}} \frac{1}{z} = \int_{0}^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{it}}dt = 2\pi i \neq 0 \]
E per Morera dovremmo avere che siccome \( \frac{1}{z} \) è continua in \( \mathbb{D} \setminus {0} \) allora \( \frac{1}{z} \) ammette primitiva se e solo se l'integrale è zero su ogni cammino contenuto in \( \mathbb{D} \setminus {0} \)
Risposte
Non lo è ma la stai facendo più complicata di quanto non sia.
\( \mathbb{C}^* \) è omeomorfo a $RR\timesS^1$, quindi il suo gruppo fondamentale è $ZZ$ e un generatore è la circonferenza su cui hai integrato.
\( \mathbb{C}^* \) è omeomorfo a $RR\timesS^1$, quindi il suo gruppo fondamentale è $ZZ$ e un generatore è la circonferenza su cui hai integrato.
Se intendi \(\mathbb C \smallsetminus \{0\}\), chiaramente non è semplicemente connesso: è omeomorfo a \(\mathbb R^2 \smallsetminus \{(0,0)\}\), il quale ha una retrazione su \(\mathbb S^1\) data dalla mappa
\[r :
p\mapsto \frac{p}{|p|} = \frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}
\] (nelle coordinate cartesiane). Ora, se \(i : Y\hookrightarrow X\) è un retratto di deformazione forte, \(\pi_n(Y)\cong \pi_n(X)\). (A te basta il primo, ma tanto dal secondo in poi sono tutti zero)
Per mostrare che lo è basta trovare un'omotopia tra \(ir\) e l'identità di \(\mathbb C^*\), lo lascio fare a te.
\[r :
p\mapsto \frac{p}{|p|} = \frac{(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}
\] (nelle coordinate cartesiane). Ora, se \(i : Y\hookrightarrow X\) è un retratto di deformazione forte, \(\pi_n(Y)\cong \pi_n(X)\). (A te basta il primo, ma tanto dal secondo in poi sono tutti zero)
Per mostrare che lo è basta trovare un'omotopia tra \(ir\) e l'identità di \(\mathbb C^*\), lo lascio fare a te.
Si, ma il problema non è topologico ma di analisi complessa, nel senso che mi sembra esserci un problema con i seguenti risultati di corso
Teorema 138: Sia \( U \) un aperto, \( f: U \to \mathbb{C} \) olomorfa, \( \gamma \) contrattibile in \( U \) allora \[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]
Definizione 144: \( f : U \to \mathbb{C} \) continua diciamo che soddisfa le condizioni di Morera se \( \forall \gamma \in U \)
\[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]
Teorema 149: \( f : U \mathbb{C} \) continua allora possiede una primitiva olomorfa se e solo se soddisfa le condizioni di Morera.
Teorema 150: se \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso allora \(f \) possiede una primitiva
Corollario 170: (Teorema di Morera) Se \( f: U \to \mathbb{C} \) continua e \( \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \) per ogni \( \gamma \) contrattibile allora \( f \) olomora.
NB: la reciproca è vera: vedi teorema 138
Ora io ho che \( \frac{1}{z} \) è olomorfa in \( \mathbb{C}^* \).
Il problema non è l'olomorfia di \( \frac{1}{z} \) ma il fatto che i cammini di \( \mathbb{C}^* \) non sono contrattibili? Vuol dire che non ci sono cammini contrattibili in \( \mathbb{C}^* \) ?
Mi si chiede di dimostrare che \(f(z)= \frac{1}{z} \) non possiede primitive su \( \mathbb{C}^* \) ma che possiede primitive su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
a) Per il teorema 150 sicuramente \( \mathbb{C}^* \) non è semplicemente connesso.
Ora supponiamo esista una primitiva su \( \mathbb{C}^* \) di \( \frac{1}{z} \), ma siccome \( \frac{1}{z} \) non soddisfa le condizioni di Morera in quanto l'integrale è non nullo su un cammino sul bordo del disco unitario allora la funzione non possiede una primitiva olomorfa ma nulla mi dice che non possiede una primitiva (non olomorfa).
b) Voglio dimostrare che \( \log(z) \) è una primitiva olomorfa di \( \frac{1}{z} \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Prendiamo un laccetto chiuso \( \gamma \) in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) siccome non può contenere lo zero siccome dev'essere chiuso allora abbiamo che \( \oint_{\gamma} \frac{1}{z} = 0 \), per ogni cammino contrattibile in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \), e dunque ammette una primitiva olomorfa per Morera.
Inoltre \( \log(z) \) essendo olomorfo in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) ed essendo la sua derivata \( \frac{1}{z} \) abbiamo che il \( \log(z) \) è una primitiva di \( 1/z\).
Teorema 138: Sia \( U \) un aperto, \( f: U \to \mathbb{C} \) olomorfa, \( \gamma \) contrattibile in \( U \) allora \[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]
Definizione 144: \( f : U \to \mathbb{C} \) continua diciamo che soddisfa le condizioni di Morera se \( \forall \gamma \in U \)
\[ \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \]
Teorema 149: \( f : U \mathbb{C} \) continua allora possiede una primitiva olomorfa se e solo se soddisfa le condizioni di Morera.
Teorema 150: se \( f: U \to \mathbb{C} \) una funzione olomorfa su un aperto semplicemente connesso allora \(f \) possiede una primitiva
Corollario 170: (Teorema di Morera) Se \( f: U \to \mathbb{C} \) continua e \( \oint_{\gamma} f(z) dz = 0 \) per ogni \( \gamma \) contrattibile allora \( f \) olomora.
NB: la reciproca è vera: vedi teorema 138
Ora io ho che \( \frac{1}{z} \) è olomorfa in \( \mathbb{C}^* \).
Il problema non è l'olomorfia di \( \frac{1}{z} \) ma il fatto che i cammini di \( \mathbb{C}^* \) non sono contrattibili? Vuol dire che non ci sono cammini contrattibili in \( \mathbb{C}^* \) ?
Mi si chiede di dimostrare che \(f(z)= \frac{1}{z} \) non possiede primitive su \( \mathbb{C}^* \) ma che possiede primitive su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
a) Per il teorema 150 sicuramente \( \mathbb{C}^* \) non è semplicemente connesso.
Ora supponiamo esista una primitiva su \( \mathbb{C}^* \) di \( \frac{1}{z} \), ma siccome \( \frac{1}{z} \) non soddisfa le condizioni di Morera in quanto l'integrale è non nullo su un cammino sul bordo del disco unitario allora la funzione non possiede una primitiva olomorfa ma nulla mi dice che non possiede una primitiva (non olomorfa).
b) Voglio dimostrare che \( \log(z) \) è una primitiva olomorfa di \( \frac{1}{z} \) su \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \).
Prendiamo un laccetto chiuso \( \gamma \) in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) siccome non può contenere lo zero siccome dev'essere chiuso allora abbiamo che \( \oint_{\gamma} \frac{1}{z} = 0 \), per ogni cammino contrattibile in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \), e dunque ammette una primitiva olomorfa per Morera.
Inoltre \( \log(z) \) essendo olomorfo in \( \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}_- \) ed essendo la sua derivata \( \frac{1}{z} \) abbiamo che il \( \log(z) \) è una primitiva di \( 1/z\).
Un cammino che non allaccia il buco è nullomotopo, dimostralo.
"solaàl":
Un cammino che non allaccia il buco è nullomotopo, dimostralo.
Cosa vuol dire nullomotopo?
Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)
"solaàl":
Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)
1) non studio in italiano quindi non so tutta la terminologia in italiano, mi scuso.
2) Il nostro professore di analisi complessa ha detto che approfondiremo in altri corsi questi aspetti e quindi ha fatto tutto più o meno in 2 ore in modo un po' confusionario dicendo di non perderci troppo tempo perché non insiste su questi aspetti in questo corso. Ad esempio non ci ha mai parlato di cammini nullomotopi.
Ciao
Il fatto che un cammino chiuso sia omotopo a costante vuole dire che il suo sostegno è deformabile con continuità a un punto.
A sua volta questo dice che l'aperto considerato non puo' avere buchi, ovvero che il complemento non ha componenti connesse limitate.
Si dimostra con le funzioni olomorfe. Ma io non sono troppo bravo
Il fatto che un cammino chiuso sia omotopo a costante vuole dire che il suo sostegno è deformabile con continuità a un punto.
A sua volta questo dice che l'aperto considerato non puo' avere buchi, ovvero che il complemento non ha componenti connesse limitate.
Si dimostra con le funzioni olomorfe. Ma io non sono troppo bravo
"solaàl":
Omotopo a un cammino costante. (Come pretendi di capire l'analisi complessa e l'invarianza per omotopia degli integrali lungo cammini, se ti manca questa terminologia?)
Sono sicuro che non è tua intenzione, ma:
1) il tuo uso dell' imperativo ("dimostralo", un po' più su);
2) questo atteggiamento da maestro;
risultano pedanti e antipatici. Non c'è bisogno che io lo difenda, ma comunque faccio notare che 3m0o non è affatto un cretino, sta facendo degli studi di livello molto alto e, a mio avviso, è ampiamente all'altezza di questo livello.
Venendo alla matematica, io sono completamente d'accordo con il primo post di 3m0o, che mi pare un OTTIMO metodo per dimostrare che \(\mathbb C\setminus\{0\}\) non è semplicemente connesso. Forse un appassionato di topologia algebrica non farebbe così, ma qui siamo esattamente su un crocevia tra analisi complessa e topologia algebrica, e non è strano che le cose di base si possano approcciare nei due modi. Anzi, è proprio qui l'interesse.
"Dimostralo" significava semplicemente "dimostralo, ce la puoi fare", e avevo solo l'atteggiamento di una persona stupita: è terminologia che mi sembrava standard. E aver dato del cretino a OP è una cosa che mi hai messo in bocca tu, per favore non farlo più 
Ora, ho una domanda per te: esiste un modo di dimostrare il teorema di Morera che non fa uso della nozione di omotopia, nemmeno di nascosto?
Ora, ho una domanda per te: esiste un modo di dimostrare il teorema di Morera che non fa uso della nozione di omotopia, nemmeno di nascosto?
Be si, se consideri le funzioni olomorfe.
No se intendi dimostrazioni di tipo topologico che non conosco
No se intendi dimostrazioni di tipo topologico che non conosco
"solaàl":
"Dimostralo" significava semplicemente "dimostralo, ce la puoi fare", e avevo solo l'atteggiamento di una persona stupita: è terminologia che mi sembrava standard. E aver dato del cretino a OP è una cosa che mi hai messo in bocca tu, per favore non farlo più
Va bene.
Non volevo farti dire niente, naturalmente. Sono stati solo un po' di fraintendimenti, tipici della comunicazione asincrona su questi forum.
Ora, ho una domanda per te: esiste un modo di dimostrare il teorema di Morera che non fa uso della nozione di omotopia, nemmeno di nascosto?
Sia sul libro di Rudin (Real and complex analysis), sia su quello di Lang (Complex analysis), ho visto che adottano due punti di vista: uno è "topologico" e l'altro è "analitico", e sviluppano tutta la teoria più o meno in parallelo. Il punto di vista analitico prende come punto di partenza l'indice di avvolgimento, che è un integrale, mentre il punto di vista topologico è quello con l'omotopia. Ecco perché sopra parlavo dei due punti di vista. Purtroppo però io non ho mai trovato il tempo di leggermi per bene la questione, mi piacerebbe farlo, un giorno.
Quanto al teorema di Morera, in fondo non è altro che il solito argomento dell'elettromagnetismo: se si annullano tutti gli integrali (punto di vista macroscopico), allora si annulla anche una certa derivata (punto di vista microscopico), che risulta essere proprio l'equazione di Cauchy-Riemann. (In elettromagnetismo, se si annullano tutti i flussi allora si annulla la divergenza, se si annullano tutte le circuitazioni allora si annulla il rotore, e così si ricavano le equazioni di Maxwell).
C'è dietro l'omotopia "nascosta"? Certo che si, ma come potrebbe non esserci? È la principale ostruzione topologica, deve apparire in un modo o nell'altro.
Mi hai rimproverato perché rispondo in pubblico; mi hai rimproverato perché ti ho risposto in privato: a mezza strada non riesco a stare
\[
\mathbb Z \to \pi_1(S^1) : m \mapsto [t\mapsto e^{2\pi i m t} ]
\] (si manda un intero nella classe di omotopia della curva che si avvolge \(m\) volte sul cerchio); l'inversa di questa funzione è la mappa che viene indotta al quoziente da \(f \mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{f} \frac{dz}{z}\); uno dimostra che 1. Questa mappa è ben definita perché il valore di quell'integrale è un intero; 2. questa mappa passa al quoziente perché cammini omotopi hanno la stessa immagine; 3. Questa mappa è un omomorfismo di gruppi ed è un isomorfismo.
Serve dell'analisi per dimostrare 1,2,3, ma questo è puramente incidentale, conseguenza del fatto che stai realizzando \(S^1\) come una varietà differenziale. Segretamente, stai usando il fatto che \(p : \mathbb R \to S^1 : t\mapsto e^{2\pi i t}\) è un rivestimento: allora, ogni cammino \(\gamma : S^1 \to S^1\) che parte da \(1\in S^1\) ha un unico rialzamento a \(\bar\gamma : S^1 \to \mathbb R\) con la proprietà che \(p\circ \bar\gamma = \gamma\), e quindi \(\bar\gamma(1)\) deve essere un intero perché \(\gamma(0)=\gamma(1) = e^{2\pi i \bar\gamma(1)} = 0\); mi sembra che senza questo, senza cioè usare in qualche modo il fatto che \(\mathbb R \to S^1\) è un rivestimento, la dimostrazione analitica non c'è; e quindi dipende da qualcos'altro di più fondamentale -in questo caso, la teoria dei rivestimenti, che esiste anche per spazi che non sono varietà.
Questa è una differenza tra analitico e sintetico che si apprezza allo stesso modo, ad esempio, nella coomologia di de Rham (per inciso, un altro approccio possibile a dimostrare che \(\pi_1(S^1)\) è \(\mathbb Z\) è dimostrare che \(H^1(S^1)\) è \(\mathbb Z\); questa seconda cosa è molto più facile): ha un modello analitico fatto dalle forme differenziali, dal loro complesso di de Rham, eccetera. Ma quello che stai davvero contando è un invariante sintetico: la coomologia "di de Rham" esiste per spazi che non sono varietà.
Il punto di vista analitico prende come punto di partenza l'indice di avvolgimento, che è un integrale, mentre il punto di vista topologico è quello con l'omotopia. Ecco perché sopra parlavo dei due punti di vista.La mia impressione è che invece il primo punto di vista sia "lo stesso" del primo, ma gli sia subordinato: sceglie delle "coordinate naturali" in cui usare degli strumenti che dimostrano il risultato: l'indice di avvolgimento è semplicemente l'inversa della mappa naturale
\[
\mathbb Z \to \pi_1(S^1) : m \mapsto [t\mapsto e^{2\pi i m t} ]
\] (si manda un intero nella classe di omotopia della curva che si avvolge \(m\) volte sul cerchio); l'inversa di questa funzione è la mappa che viene indotta al quoziente da \(f \mapsto \frac{1}{2\pi i}\int_{f} \frac{dz}{z}\); uno dimostra che 1. Questa mappa è ben definita perché il valore di quell'integrale è un intero; 2. questa mappa passa al quoziente perché cammini omotopi hanno la stessa immagine; 3. Questa mappa è un omomorfismo di gruppi ed è un isomorfismo.
Serve dell'analisi per dimostrare 1,2,3, ma questo è puramente incidentale, conseguenza del fatto che stai realizzando \(S^1\) come una varietà differenziale. Segretamente, stai usando il fatto che \(p : \mathbb R \to S^1 : t\mapsto e^{2\pi i t}\) è un rivestimento: allora, ogni cammino \(\gamma : S^1 \to S^1\) che parte da \(1\in S^1\) ha un unico rialzamento a \(\bar\gamma : S^1 \to \mathbb R\) con la proprietà che \(p\circ \bar\gamma = \gamma\), e quindi \(\bar\gamma(1)\) deve essere un intero perché \(\gamma(0)=\gamma(1) = e^{2\pi i \bar\gamma(1)} = 0\); mi sembra che senza questo, senza cioè usare in qualche modo il fatto che \(\mathbb R \to S^1\) è un rivestimento, la dimostrazione analitica non c'è; e quindi dipende da qualcos'altro di più fondamentale -in questo caso, la teoria dei rivestimenti, che esiste anche per spazi che non sono varietà.
Questa è una differenza tra analitico e sintetico che si apprezza allo stesso modo, ad esempio, nella coomologia di de Rham (per inciso, un altro approccio possibile a dimostrare che \(\pi_1(S^1)\) è \(\mathbb Z\) è dimostrare che \(H^1(S^1)\) è \(\mathbb Z\); questa seconda cosa è molto più facile): ha un modello analitico fatto dalle forme differenziali, dal loro complesso di de Rham, eccetera. Ma quello che stai davvero contando è un invariante sintetico: la coomologia "di de Rham" esiste per spazi che non sono varietà.
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