Secondo me questo esercizio non ha senso

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

Sono un poco confuso dal seguente esercizio...

Dimostra che \( \Gamma(s) \) può essere scritto, per \( \Re(s) > 0 \), come integrale,
\[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^s \frac{dt}{t} \]

Ora vado nelle note del corso.
Capitolo 7: La funzione zeta
7.1 La funzione Gamma

Definizione:
La funzione Gamma \(\Gamma(s) \) è definita inizialmente ponendo
\[ \Gamma(s) := \int_0^{\infty} e^{-t} t^{s-1} dt \]
l'integrale converge assolutamente nel semipiano \( \Re(s) > 0 \), dunque definisce una funzione olomorfa.




Cioè scusate ma cosa mi si chiede? Di dimostrare una definizione?

Le soluzioni dell'esercizio sono ancora più "strane" perché dicono
Grazie al corollario 5.3.1 abbiamo
\[ \Gamma(s) = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^s}{s(s+1) \cdot \ldots \cdot (s+n)} \]
inoltre abbiamo
\[ (1-t/n)^n \to e^{-t} \]
allora considerando
\[ \prod(s,n) : = \int_0^n \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n t^{s-1} dt =\int_0^n \left( 1 - \frac{t}{n} \right)^n t^{s} \frac{dt}{t} \]
\[ \overset{t \mapsto tn}{=} n^s \int_0^1 (1-t)^n t^{s-1} dt \]
tra l'altro i passaggi qui sotto non li ho capiti
\[ = \frac{n^s}{s} \int_0^1 (1-t)^n dt^s = n^s \frac{n}{s} \int_0^1 (1-t)^{n-1} t^s dt \]
\[ = \ldots = \frac{n^s n!}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1) } \int_0^1 t^{s+n-1} dt \]
\[ = \frac{n^s n!}{s(s+1) \cdot \ldots \cdot (s+n)} \]
Allora abbiamo che
\[ \Gamma(s) = \lim_{n \to \infty} \prod (s,n) = \lim_{n \to \infty} \int_0^n \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n t^{s-1} dt \]

comparando i due integrali otteniamo
\[ \int_0^{\infty} e^{-t} s^{s-1}dt - \lim_{n \to \infty} \int_0^n \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n t^{s-1} dt \]
= \[ \lim_{n \to \infty} \displaystyle{\int_0^{n}} \left( e^{-t} - \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n \right) t^{s-1} dt = \lim_{n \to \infty} \displaystyle{\int_0^{n}} \left(1 - e^{t} \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n \right) e^{-t} t^{s-1} dt \]

Nota che \( (1+y/n)^n < e^{y} \) per \( \left| y \right| < n \) allora \[ 0 < \left(1 - e^{t} \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n \right) < 1 - \left( 1+ \frac{t}{n} \right)^n \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n = 1 - \left( 1- \frac{t^2}{n^2} \right)^n \]
per ogni \( 0 < x < 1 \) abbiamo
\[ 1 - nx \leq (1-x)^n \]
quindi
\[1 - \left( 1- \frac{t^2}{n^2} \right)^n \leq \frac{t^2}{n} \]
dunque
\[ \displaystyle{\int_0^{n}} \left(1 - e^{t} \left( 1- \frac{t}{n} \right)^n \right) e^{-t} t^{s-1} dt \]
\[ \leq \displaystyle{\int_0^{n}} \frac{t^2}{n} e^{-t} t^{\sigma -1} dt = \frac{1}{n} \displaystyle{\int_0^{n}} \frac{t^2}{n} e^{-t} t^{\sigma + 1} dt \leq \frac{1}{n} \displaystyle{\int_0^{\infty}} \frac{t^2}{n} e^{-t} t^{\sigma + 1} dt \to 0 \]
quando \(n \to \infty \).

A parte quei passaggi, già menzionati, che non capisco. Perché dico che la soluzione è strana? Beh perché usa il corollario 5.3.1 e per dimostrarlo a corso abbiamo usato proprio la definizione di \( \Gamma \) ovvero che
\[ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} e^{-t} t^s \frac{dt}{t} \]
Infatti ha usato sostanzialmente la stessa dimostrazione usata per dimostrare il corollario, ma al contrario. Cioè


Ha preso l'integrale LHS e integrando per parti otteniamo
\[ \int_0^1 \xi^{s-1} ( 1- \xi)^n d\xi = \frac{n}{s} \int_0^1 \xi^s (1-s)^{n-1} d \xi \]
usando ricorsivamente questa cosa otteniamo
\[ \int_0^1 \xi^{s-1} ( 1- \xi)^n d\xi = \frac{n}{s} \frac{n-1}{s+1} \cdot \ldots \cdot \frac{1}{s+n-1} \int_0^1 \xi^{s+n-1} d \xi = \frac{n!}{s(s+1) \ldots (s+n) } \]
facendo la sostituzione \( \xi \to \xi/n \) otteniamo
\[ \frac{n! n^s}{s(s+1) \ldots (s+n) } = \int_0^{n} \xi^{s-1} \left(1- \frac{\xi}{n} \right)^n d \xi \]
Ora definiamo \( g_n(\xi) = 0 \) se \( [n,\infty \) e \( \xi^{s-1}(1- \xi/n)^n \) se \( \xi \in (0,n ) \).
e abbiamo che
\[ \int_0^{\infty}g_n(\xi) \xi = \frac{n! n^s}{s(s+1) \ldots (s+n) } \]
in primo luogo abbiamo che
\[ \lim_{n \to \infty} g_n(\xi) = \xi^{s-1} e^{-\xi} \]
e (usa la definizioneeeeee)
\[ \int_0^{\infty} \left( \lim_{n\to \infty} g_n(\xi) \right) d\xi = \Gamma(s) \]
Grazie alla disuguaglianza
\[ \left(1- \frac{\xi}{n} \right)^n \leq e^{- \xi } \]
otteniamo un bound
\[ \left| g_n(\xi) \right| \leq \xi^{s-1} e^{-\xi} \]
usando il teorema della convergenza dominata scambia l'integrale e il limite e conclude.


Ora come potete vedere non possiamo usare il lemma 5.3.1 per dimostrare una definizione siccome usiamo quella stessa definizione per dimostrare il lemma 5.3.1... qualcuno può chiarirmi le idee?

[gugo82]

Beh, la $Gamma$ si può definire in molti modi, quindi probabile che il Lemma 5.3.1 si possa dimostrare anche sfruttando altra definizione.
Prendendo il Lemma per dimostrato, segui il ragionamento e vedi se funziona.

Per quanto riguarda i passaggi qui:
\[
n^s \frac{n}{s} \int_0^1 (1-t)^{n-1} t^s dt = \cdots = \frac{n^s n!}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1) } \int_0^1 t^{s+n-1} dt
\]
immagino sia un'integrazione per parti ripetuta $n-1$ volte con fattori differenziali $t^s$, $t^(s+1)$, ... $t^(s+n-2)$, ma non ho provato. Vedi un po' cose ne viene fuori.

[84f45e194ee50365c2aa8ead271e4a9d9bb017bb]

"gugo82":Beh, la $ Gamma $ si può definire in molti modi, quindi probabile che il Lemma 5.3.1 si possa dimostrare anche sfruttando altra definizione.

Sì, dicevo che per la consistenza del corso non ha molto senso siccome l'hanno definita così in questo corso. Ma forse è solo una pignoleria eccessiva.

"gugo82":
Prendendo il Lemma per dimostrato, segui il ragionamento e vedi se funziona.


Per quanto riguarda i passaggi qui:
\[ n^s \frac{n}{s} \int_0^1 (1-t)^{n-1} t^s dt = \cdots = \frac{n^s n!}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1) } \int_0^1 t^{s+n-1} dt \]
immagino sia un'integrazione per parti ripetuta $ n-1 $ volte con fattori differenziali $ t^s $, $ t^(s+1) $, ... $ t^(s+n-2) $, ma non ho provato. Vedi un po' cose ne viene fuori.

Sì grazie, hai ragione! È un cambio di variabile \( t \mapsto \frac{t}{n} \) seguita poi da un integrazione per parti ripetuta \(n-1\) volte.

Cioé non mi spiegavo dove saltasse fuori quell' \(n^s \). Ma segue dal fatto che
\[ \frac{n}{s} \int_0^1 (1-t)^{n-1} t^s dt = \cdots = \frac{ n!}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1) } \int_0^1 t^{s+n-1} dt \]
E
\[ \int_0^1 (1-t)^{n} t^{s-1} dt = \frac{1}{n^s} \int_{0}^{n} \left( 1- \frac{\xi}{n} \right)^{n} \xi^{s-1} d\xi \]
Dunque se
\[ \int_0^1 (1-t)^{n} t^{s-1} dt = \frac{ n!}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1)(s+n) } \]
allora
\[ \frac{ n! n^s}{s(s+1)\cdot \ldots \cdot (s+n-1)(s+n) } = \int_{0}^{n} \left( 1- \frac{\xi}{n} \right)^{n} \xi^{s-1} d\xi \]