Scrivere il polinomio in serie di Laurent

[Omi1]

Salve a tutti, ho il seguente polinomio $ 1/(z^2-3jz-2) $ che dovrei scrivere in una serie di Laurent con
$ 0<|z-j|<1 $ .

Provando a scomporla mi è uscito :
$ sum_( n= \0) ((z-j)/j)^n+jsum_(n = \0)(1-z+j)^n $
La mia domanda è, a questo punto come faccio a capire che questi termini rientrano nella condizione $ 0<|z-j|<1 $?

[Quinzio]

Non va bene come l'hai risolto.
La serie di Laurent deve essere un polinomio in $z$ centrato in un solo polo.

Cioe':

$\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_k (z-c)_k$

La tua serie va bene fino a qui:

$ sum_( n= \0) ((z-j)/j)^n $

ma poi aggiungi un'altra sommatoria che non va bene, perche' non e' centrata in $z-j$.

I passaggi sono questi:

$ 1/(z^2-3jz-2) $

$ (-j)/(z-2j) + j/(z-j) $

$ j/(z-j) + (-j)/(z-2j) $

$ j/(z-j) + (-j)/(z-j-j) $

$ j/(z-j) + (-j)/(-j(1-(z-j)/j) $

$ j/(z-j) + 1/(1-(z-j)/j) $

$ j/(z-j) + \sum_{k=0}^{+\infty}((z-j)/j)^k $

Ti consiglio questa pagina, che mi sembra scritta bene e contiene anche degli esempi utili:
https://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Laurent

[Omi1]

Ok Quinzio grazie della risposta, quindi un termine rimane praticamente inalterato. Però ritorno alla domanda, a questo punto come faccio a capire che questa serie rispetta la condizione $ 0<|z-j|<1 $ ?

Per la serie geometrica ho che $ 0<|(z-j)/j|<1 $ cioè $ 0<|(z-j)|<|j|=1 $ e quindi mi trovo, ma per il termine isolato invece? Come mi comporto? Lo assumo già dentro il cerchio di convergenza?

[Quinzio]

"Omi":
Per la serie geometrica ho che $ 0<|(z-j)/j|<1 $ cioè $ 0<|(z-j)|<|j|=1 $ e quindi mi trovo, ma per il termine isolato invece? Come mi comporto? Lo assumo già dentro il cerchio di convergenza?

Quello che devi fare e' fermarti un attimo di applicare le regole in modo meccanico e ragionare sul senso della tua domanda e di quello che fai.
Fine della predica.

Il termine isolato $j/(z-j)$ non ha un raggio di convergenza.
E' solo e semplicemente una funzione da $CC$ a $CC$ che e' definita per tutto il piano complesso TRANNE il punto $z=j$ che guardacaso e' uno dei poli della funzione di partenza.
Ci siamo fin qui ? Ci siamo che $j/(z-j)$ non ha un raggio di convergenza ?

Il concetto di "raggio di convergenza" si applica alle serie (infinite) perche' per la serie converge solo in una certa zona del piano complesso.
Il concetto di raggio di convergenza di applica a tutta la serie (infinita) e nemmeno a uno o a un insieme finito dei suoi termini.
Prendi il termine con $k = 1000^2$. Converge ? Ha un raggio di convergenza ?
Prendi la serie troncata a $k=1000$ ovvero la somma da $k=0$ a $k=1000$ ? Converge ? Che raggio di convergenza ha ?
Prova a calcolare il valore della serie $\sum_{k=0}^{+\infty}((z-j)/j)^k $ per $z=1/2+j$.
Ma prova facendo la somma di tanti termini. Usa la calcolatrice, un foglio di calcolo, Python, Matlab, e somma i primi 1000 termini e poi ne aggiungi altri 1000 e poi 1 milione, a seconda dello strumento che stai usando, ma fai una prova per capire di quello di cui stai parlando.
Poi prova con $z=1000 j$. Hai provato ? Interessante vero ? Capisci perche' si parla di raggio di convergenza ?

[Omi1]

Si Quinzio, ti ringrazio della predica. Adesso è tutto chiaro grazie ancora.