Rotazionale di \( f \) e derivata di Wirtinger.

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Siano \( u,v : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) funzioni \( C^1 \) e \( f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) \) e sia \( \Omega \subset \mathbb{C} \) dimostra che
\[ \oint_{\partial \Omega} f(z) dz = 2i \int \int_{\Omega} \overline{\partial}f(x,y)dxdy \]
Dove \( \overline{\partial} f \) indica la derivata di Wirtinger

Mi chiedevo chiedevo se fosse leggittimo operare in questo modo:
Identifichiamo \( \Omega \) come sottinsieme di \( \mathbb{R}^2 \) e \( f \) come un campo vettoriale di \( \mathbb{R}^2 \) e sia \( T_{\epsilon} \) un triangolino contenuto in \( \Omega \). Sappiamo che
\[ \oint_{\partial T_{\epsilon}} f \cdot ds = area(T_{\epsilon}) rot f + o(\epsilon^2) \]
E per la formula di Green-Riemann abbiamo che
\[ \oint_{\partial T_{\epsilon}} f \cdot ds= \int\int_{\Omega} rot f dx dy \]
ma se identifichiamo \( f \) come funzione di \( \mathbb{C} \) sappiamo che facendo un triangolino \( T_{\epsilon} \) abbiamo
\[ \oint_{\partial T_{\epsilon}} f(z)dz = 2i area(T_{\epsilon}) \overline{\partial}f(z) + o(\epsilon^2) \]
Pertanto segue che in un certo senso il rotazionale di \( f \) visto come campo vettoriale corrisponde alla derivata di Wirtinger vista come funzione complessa e pertanto dovremmo avere che
\[ \oint_{\partial \Omega} f(z) dz = 2i \int \int_{\omega} \overline{\partial}f(x,y)dxdy \]
che è una sorta di analogo alla formula di Green-Riemann

[dissonance]

Mah, mi sembra che tu stia ridimostrando la formula di Green. Ma fai dei giri di parole che non mi convincono molto. Alla fin fine tutte queste formule di integrazione per parti sono solo notazioni. Secondo me la cosa migliore qui è esprimere tutto in coordinate e fare i conti.