Risultato leggeremente diverso da quello richiesto.

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Supponiamo che la serie di Dirichlet \( f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s} \) converge assolutamente per \( \Re(s)>1 \). Sia \( A(\xi)= \sum_{n \leq \xi} a_n \). Inoltre per qualche \(b > 1 \) sia \( B(b) = \int_1^{\infty} \frac{ \left| A(\xi) \right|}{\xi^{b+1}}d \xi \). Per \( x \geq 1 \) e \( T \geq 2 \) dimostra che
\[ \int_1^x A(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)} x^{s+1} ds + R \]
dove
\[ \left| R \right| \leq C_0 \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^b \left( \frac{x \log x}{T} + \log T \right) \max_{x/2 \leq \xi \leq 3x/2} \left| A(\xi) \right| \right) \]
e \(C_0 > 1 \).

Come da suggerimenti ho proceduto nel modo seguente (vedi sotto) ma il problema è che così facendo dimostro una cosa leggermente diversa e non capisco come mai. Io dimostro che
\[ \int_{1/2}^x A(\xi)d\xi = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)} x^{s+1} ds + R \]
dove
\[ \left| R \right| \leq C_0 \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^{b+1} \left( \frac{x \log x}{T} + \log T \right) \max_{x/2 \leq \xi \leq 3x/2} \left| A(\xi) \right| \right) \]

Sostanzialmente ho che uno degli estremi di integrazione è \(1/2\) e non \(1\), inoltre nell'errore c'è un \(2^{b+1} \) invece di un \(2^{b} \). Sono equivalenti?



Step 0: Per \( \Re(s) > 1 \) abbiamo che
\( \frac{A(N)}{N^s} \to 0 \) quando \( N \to \infty \).

Abbiamo che siccome \( f(s) \) converge assolutamente in \( \Re(s) > 1 \), allora per ogni \( \sigma_0 = \Re(s_0) > 1 \) abbiamo che
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^{s_0}} \ll 1 \]
inoltre grazie alla formula di Abel abbiamo che
\[ A(N) = \sum_{n \leq N} a_n = \sum_{1/2 < n \leq N} \frac{a_n}{n^{s_0}} n^{s_0} \]
\[=N^{s_0} \sum_{n \leq N} \frac{a_n}{n^{s_0} } - \left( \frac{1}{2} \right)^{s_0} \sum_{ n \leq 1/2} \frac{a_n}{n^{s_0}} - s_0 \int_{1/2}^{N} \left( \displaystyle{\sum_{n \leq \xi}} \frac{a_n}{n^{s_0}} \right) \xi^{s_0-1} d \xi \]
\[ \ll N^{\sigma_0} + \int_{1/2}^{N} \xi^{s_0-1} d\xi \ll N^{\sigma_0} + N^{\sigma_0} \ll N^{\sigma_0} \]

Dunque se \( \Re(s) > \Re(s_0) > 1 \) abbiamo che
\[ \frac{A(N)}{N^s} \ll \frac{N^{\sigma_0}}{N^{\sigma}} \to 0 \]

Step 1: Per \( \Re(s) > 1 \) abbiamo
\[ \frac{f(s)}{s} = \int_1^{\infty} A(\xi) \frac{d\xi}{\xi^{s+1}} \]

Abbiamo che
\[ f(s) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s} = \lim_{N \to \infty} \sum_{1/2 < n \leq N} a_n n^{-s} \]
grazie ancora ad abel abbiamo
\[ = \lim_{N \to \infty} \left( N^{-s} A(N) - 2^{s} A(1/2) + s \displaystyle{\int_{1/2}^{N}} A(\xi) \xi^{-(s+1)} d \xi \right) \]
\[ = \lim_{N \to \infty} \left( \frac{A(N)}{N^s} + s \displaystyle{\int_{1/2}^{N}} A(\xi) \xi^{-(s+1)} d \xi \right) \]
\[ = \lim_{N \to \infty} s \int_{1/2}^{N} \frac{A(\xi)}{\xi^{s+1}} d \xi \]

Step 2:
Consideriamo l'integrale seguente
\[ J = \frac{1}{2 \pi i } \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)}x^{s+1} ds \]
dimostriamo che
\[ J = J_1 + J_2 + J_3 \]
dove
\[ J_1 = \int_{1/2}^{x-1} A(\xi) I(\xi) d \xi \]
\[ J_2 = \int_{x-1}^{x+1} A(\xi) I(\xi) d \xi \]
\[ J_3 = \int_{x+1}^{\infty} A(\xi) I(\xi) d \xi \]
dove
\[ I(\xi) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \left( \frac{x}{\xi} \right)^{s+1} \frac{ds}{s+1} \]

Prendiamo \( \frac{f(s)}{s} \) moltiplichiamolo per \( \frac{x^{s+1}}{s+1} \) e intreghiamo su \( [b-iT,b+iT] \).
\[ J = \frac{1}{2 \pi i } \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{f(s)}{s(s+1)}x^{s+1} ds = \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{x^{s+1}}{s+1} \left( \displaystyle{\int_{1/2}^{\infty} }\frac{A(\xi)}{\xi^{s+1}} d \xi \right) ds = (\ast) \]
ora siccome \( f(s) \) converge assolutamente in \( \Re(s) > 1 \) allora anche \( \frac{f(s)}{s} \) converge assolutamente dunque possiamo switchare l'ordine degli integrale e ottenere
\[ (\ast) = \int_{1/2}^{\infty} A(\xi) \left( \frac{1}{2\pi i} \displaystyle{\int_{b-iT}^{b+iT}} \left( \frac{x}{\xi} \right)^{s+1} \frac{ds}{s+1} \right) = \int_{1/2}^{\infty} A(\xi) I(\xi) d\xi \]
dunque abbiamo che
\[ J = J_1 + J_2 + J_3 \]

Step 3:
Stima degli integrali \(J_1,J_2,J_3\)

Usiamo il fatto che se \( y \neq 1 \) abbiamo
\[ \frac{1}{2\pi i} \int_{b-iT}^{b+iT} \frac{y^s}{s} ds - \mathbf{1}_{\{y > 1\} } \leq \frac{y^{b}}{\pi T \left| \log y \right|} \ \ \ \ (3.1) \]
Il caso \(J_1\):
Abbiamo che siccome \( y = \frac{x}{\xi} > 1 \) allora possiamo usare (3.1) facendo un cambio di variabile \(s' = s+1 \) nell'integrale \(I(\xi)\), dunque
\[ \left| J_1 - \int_{1/2}^{x-1} A(\xi) ds \right| \leq \int_{1/2}^{x-1} \left| A(\xi) \right| \left( \frac{x}{\xi} \right)^{b+1} \frac{ d \xi}{\pi T \left| \log x/\xi \right|} \]
\[ = \left( \displaystyle{\int_{1/2}^{x/2}} + \displaystyle{\int_{x/2}^{x-1}} \right)\left| A(\xi) \right| \left( \frac{x}{\xi} \right)^{b+1} \frac{ d \xi}{\pi T \left| \log x/\xi \right|} = (\ast) \]
e usiamo il fatto che sul primo integrale risulta che \( \log x/\xi > \log 2 \) e sul secondo invece \( (x/\xi)^{b+1} \leq 2^{b+1} \) dunque
\[ (\ast) \leq \frac{x^{b+1}}{\pi T \log 2} B(b) + \frac{2^{b+1}}{\pi T} \max_{x/2 \leq \xi \leq x-1} \left| A(\xi) \right| \int_{x/2}^{x-1} \frac{1}{\left| \log (x/\xi) \right|} d \xi \]
\[ \leq C \frac{x^{b+1}}{T \log 2} B(b) + C \frac{2^{b+1}}{ T} \max_{x/2 \leq \xi \leq x-1} \left| A(\xi) \right| x \log x =: E(x,b,T,x/2,x-1) \]
dunque abbiamo che
\[ J_1 = \int_{1/2}^{x} A(\xi ) d\xi + O(E(x,b,t,x/2,x-1) ) \]

Caso \(J_2\):
Possiamo stimarlo direttamente nel seguente modo
\[ \left| J_2 \right| = \left| \displaystyle{\int_{x-1}^{x+1} }A (\xi) I(\xi) d\xi \right| \leq \int_{x-1}^{x+1} A(\xi) \frac{1}{2\pi } \int_{-T}^{T} \frac{(x/\xi)^{b+1} }{\sqrt{(b+1)^2 + t^2}} dt d\xi = (\ast ) \]
dove abbiamo fatto un cambio di variabile \(s' = s+1 \) e usato il fatto che \( \left| (x/\xi)^{s'} \right| = (x/\xi)^{\Re(s')} = (x/\xi)^{b+1} \) e \( \left| s' \right| = \sqrt{\Re(s')^2 + \Im(s')^2 } = \sqrt{(b+1)^2 + t^2 }\) con \( -T \leq t \leq T \).
\[ ( \ast) \leq \max_{x-1 \leq \xi \leq x+1} \left| A(\xi) \right| \int_{x-1}^{x+1} \int_{-T}^{T} \frac{2^{b+1}}{\sqrt{4+t^2} }dt d\xi \leq \max_{x-1 \leq \xi \leq x+1} \left| A(\xi) \right| 2^{b+1} \log T \]

L'ultimo integrale, caso \(J_3\), operiamo in modo simile al primo. E notando che \( x/\xi < 1 \) allora usiamo di nuovo (3.1).
\[ \left| J_3 \right| = \left| \displaystyle{\int_{x+1}^{\infty} } A(\xi) I(\xi) \right| \leq \int_{x+1}^{\infty} \left| A(\xi) \right| (x/\xi)^{b+1} \frac{d\xi}{\pi T \left| \log(x/\xi) \right|} \]

\[ = \left( \displaystyle{\int_{x+1}^{3x/2}} + \displaystyle{\int_{3x/2}^{\infty}} \right)\left| A(\xi) \right| \left( \frac{x}{\xi} \right)^{b+1} \frac{ d \xi}{\pi T \left| \log x/\xi \right|} = (\ast) \]
Usiamo il fatto che sul primo integrale abbiamo che \( (x/\xi)^{b+1} \leq 2^{b+1} \) e sul secondo abbiamo che \( \left| \log x/\xi \right| > \log 2 \) dunque
Il primo integrale lo minoriamo così
\[ \leq \frac{2^{b+1}}{T \pi} \max_{x+1 \leq \xi \leq 3x/2} \left| A(\xi) \right| x \log x \]
e il secondo
\[ \leq B(b) \frac{x^{b+1}}{\pi T} \]
dunque
\[ \left| J_3 \right| \ll E(x,b,t,x+1,3x/2) \]

Conclusione:

Combinando gli step precedenti abbiamo che
\[ J = \int_{1/2}^{x-1} A(\xi) d \xi + R \]
dove
\[ \left| R \right| \ll \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^{b+1} \frac{x \log x}{T} \max_{x/2 \leq \xi \leq x-1} \left| A(\xi) \right| \right) + \left( 2^{b+1} \log T \max_{x-1 \leq \xi \leq x+1} \left| A(\xi) \right| \right) + \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^{b+1} \frac{x \log x}{T} \max_{x+1 \leq \xi \leq 3x/2} \left| A(\xi) \right| \right) \]
dunque
\[ \left| R \right| \ll \left( B(b) \frac{x^{b+1}}{T} + 2^{b+1} \left( \frac{x \log x}{T} + \log T \right) \max_{x/2 \leq \xi \leq 3x/2} \left| A(\xi) \right| \right) \]

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Forse
\[ \int_{1/2}^{x} A(\xi ) d\xi = \int_{1}^{x} A(\xi)d\xi \]
perché effettivamente
\[ A(\xi) = 0 \]
se \( 1/2 \leq \xi < 1 \).

Però il fattore 2 nel error term non so come sistemarlo.