Risolvere questo integrale con i residui?

[Omi1]

Salve ho il seguente integrale :
$ int_(-oo )^(+oo ) (sen6xcos3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $

Se applico le formule di Werner mi riconducono a due seni :
$ 1/2int_(-oo )^(+oo ) (sen9x+sen3x)/((6x-pi)^2(3x-pi)) dx $
Ottengo così la funzione
$ f(z)=(e^(j9z)+e^(j3z))/((6z-pi)^2(3z-pi)) $

E mi accorgo che i residui sono due, in particolare
$ R[pi/3]=lim_(z -> pi/3) (e^(j9z)+e^(j3z))/(3(6z-pi)^2) $
L'altro residuo invece è da calcolare in $ pi/6 $ , ma non riesco a capire se il polo sia semplice o doppio, poiché anche il numeratore si annulla.

[Mephlip]

Leggi qui la parte sulle singolarità isolate, dovrebbe chiarirti il dubbio.

[Omi1]

Allora $ pi/6 $ è zero semplice per il numeratore e zero doppio per il denominatore, quindi il polo è semplice. Però se risolvo facendo $ lim_(z -> pi/6) (e^(j9z)+e^(j3z))/((6z-pi)(3z-pi)) $ mi esce una forma indeterminata $ 0/0 $

[Mephlip]

Però dovresti aver imparato, nei corsi precedenti a quello di metodi, come trattare le forme indeterminate. Come lo calcoli quel limite? Il suo valore ti darà la conferma su che tipo di singolarità è $z=\pi/6$.

[Omi1]

Non pensavo potessero uscire forme indeterminate con i residui, comunque per risolverlo posso applicare Hopital e il risultato per $ R[pi/6]=-2/pi $ mentre $ R[pi/3]=-2/(3pi^2) $.
Il risultato a questo punto dovrebbe essere
$ I=pi/2 Im[jR[pi/3]+jR[pi/6]] $ e non mi trovo con wolfram che riporta -0.27 come risultato...

[pilloeffe]

Ciao Omi,

"Omi":Però se risolvo facendo $\lim_{z to \pi/6} (e^(i9z)+e^(i3z))/((6z-\pi) (3z-\pi)) $ mi esce una forma indeterminata $0/0$

Occhio che nel limite ti sei bevuto il quadrato su $(6z - \pi) $...
Facendo per bene i conti a me risulta quanto segue:

$I = \pi/2 \text{Im}[i \text{Res}(\pi/3) + i \text{Res}(\pi/6)] = \pi/2 [- 2/(3\pi^2) - 1/(3\pi)] ~~ - 0,272769962 $

[Omi1]

Ciao pillo, caspita hai ragione, invece di portare il 6 fuori dal quadrato che quindi veniva 36, portavo il 6 sbagliando. Grazie come sempre.