Risolvere il seguente integrale?
Salve a tutti, avrei bisogno di risolvere il seguente integrale, va bene anche utilizzando la sostituzione nel campo complesso.
$ int_(0)^(2pi) dx/(5+4cosx)^2 $
Ho provato ad utilizzare il campo complesso ma non riesco a trovarmi. Grazie a tutti in anticipo.
$ int_(0)^(2pi) dx/(5+4cosx)^2 $
Ho provato ad utilizzare il campo complesso ma non riesco a trovarmi. Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Ciao! Cosa hai provato a fare?
Ho provato a sostituire :
$ cosx=(z+1/z)/2 $
$ cosx=(z+1/z)/2 $
Beh, prosegui... 
Se $z = e^{ix} \implies \text{d}z = i e^{ix} \text{d}x = i z \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}z)/(i z) $, quindi si ha:
$ \int_(0)^(2pi) dx/(5+4cosx)^2 = \oint_{|z| = 1} \frac{ (\text{d}z)/(i z)}{[5 + 2(z+1/z)]^2} $
In alternativa potresti partire dall'integrale seguente:
$\int 1/(a + b cosx) text{d}x = (2\pi)/sqrt{a^2 - b^2} $
per $|b| < a $ (integrale che però dovresti dimostrare...) e poi derivare rispetto ad $a $ entrambi i membri, sicché si ottiene:
$ \int 1/(a + b cosx)^2 text{d}x = (2\pi a)/(a^2 - b^2)^{3/2} $
Nel caso dell'esercizio proposto $a = 5 $ e $b = 4 $, per cui si ha:
$ \int 1/(5 + 4 cosx)^2 text{d}x = (10\pi)/(5^2 - 4^2)^{3/2} = (10\pi)/27$
Se $z = e^{ix} \implies \text{d}z = i e^{ix} \text{d}x = i z \text{d}x \implies \text{d}x = (\text{d}z)/(i z) $, quindi si ha:
$ \int_(0)^(2pi) dx/(5+4cosx)^2 = \oint_{|z| = 1} \frac{ (\text{d}z)/(i z)}{[5 + 2(z+1/z)]^2} $
In alternativa potresti partire dall'integrale seguente:
$\int 1/(a + b cosx) text{d}x = (2\pi)/sqrt{a^2 - b^2} $
per $|b| < a $ (integrale che però dovresti dimostrare...) e poi derivare rispetto ad $a $ entrambi i membri, sicché si ottiene:
$ \int 1/(a + b cosx)^2 text{d}x = (2\pi a)/(a^2 - b^2)^{3/2} $
Nel caso dell'esercizio proposto $a = 5 $ e $b = 4 $, per cui si ha:
$ \int 1/(5 + 4 cosx)^2 text{d}x = (10\pi)/(5^2 - 4^2)^{3/2} = (10\pi)/27$
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