Risoluzione integrale reale con nozioni di analisi complessa

[Mich0412]

Salve, è la prima volta che scrivo su questo forum, quindi scusatemi per gli eventuali errori. Volevo risolvere un integrale che di base è di analisi 1 utilizzando nozioni di analisi complessa. L'integrale in questione si può tranquillamente risolvere con la decomposizione in fratti semplici, ma il calcolo dei coefficienti lo rende troppo lungo. Ho provato anche ad usare anche le radici complesse, ma non semplifica di molto il problema. Invece il metodo dei residui si applica di solito ad integrali impropri. Qualcuno mi saprebbe dare una mano, non necessariamente svolgendo l'esercizio (voglio divertirmi a risolverlo), ma dandomi un input da dove iniziare il mio ragionamento.

L'integrale in questione è il seguente:

$ \int_{1}^{2} \frac{1}{(x+2)^2(x^2+x+1)^2} \, dx $

[pilloeffe]

Ciao Mich0412,

Benvenuto sul forum!

Onestamente non mi pare una grande idea la tua di risolvere coi metodi dell'analisi complessa l'integrale proposto, anche vedendo il risultato:
https://www.wolframalpha.com/input?i=int+1%2F%28%28x%2B2%29%5E2%28x%5E2%2Bx%2B1%29%5E2%29%2C+x+%3D+1+to+2

Comunque per trasformarlo in un integrale improprio, ma non so se poi dopo sia più facilmente calcolabile, ci si potrebbe inizialmente ricondurre all'intervallo $(0, 1)$ e poi procedere con un altro opportuno cambiamento di variabile.

Posto $t := x - 1 \implies x = t + 1 \implies \text{d}x = \text{d}t $, si ha:

$\int_1^2 \frac{1}{(x+2)^2(x^2+x+1)^2} \text{d}x = \int_0^1 \frac{1}{(t+3)^2((t + 1)^2+t + 1+1)^2} \text{d}t = $

$ = \int_0^1 \frac{1}{(t+3)^2(t^2 + 2t + 1 + t + 1+ 1)^2} \text{d}t = \int_0^1 \frac{1}{(t+3)^2(t^2 + 3t + 3)^2} \text{d}t $

A questo punto per avere un integrale improprio si potrebbe porre $z := 1/t \implies \text{d}z = - 1/t^2 \text{d}t \implies \text{d}t = - 1/z^2 \text{d}z $ in modo che per $t = 1 \implies z = 1 $, mentre per $t \to 0 \implies z \to +\infty $ e si ha:

$ \int_0^1 \frac{1}{(t+3)^2(t^2 + 3t + 3)^2} \text{d}t = \int_{+\infty}^1 \frac{1}{(1/z+3)^2(1/z^2 + 3/z + 3)^2} (- 1/z^2 \text{d}z) = $

$ = \int_1^{+\infty} \frac{1}{(1+3z)^2/z^2 (1 + 3z + 3z^2)^2/z^4} (\text{d}z)/z^2 = \int_1^{+\infty} \frac{z^4}{(1+3z)^2 (1 + 3z + 3z^2)^2} \text{d}z $

[Mich0412]

Ti ringrazio per la risposta, comunque già provai a risolverlo con metodi standard ed effettivamente non era complesso, era solo lungo da calcolare. Diciamo che la mia domanda viene da un'osservazione fatta dal mio professor edi analisi a lezione dove spiegò che introdurre i numeri complessi avrebbe semplificato di molto gli integrali. Di base non lo spiegó ed ero curioso di provarci ora con basi più solide, anche se alla fine credo semplicemente usasse le radici complesse per scomporre ulteriormente in fratti semplici.