Risoluzione di una EDO con trasformata di Laplace

[astrolabio95]

Salve a tutti,

sono dinanzi al seguente problema di Cauchy

$ { ( y''+2y'+2y=e^(-x) ),( y(0)=2), (y'(0) =0):} $

Vado a trasformare ed ottengo

$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s^2+2s+2) $

che ho riscritto come

$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s+1-i)(s+1+i) $

Adesso mi chiedo se fosse possibile manipolare un po' questa espressione per ricondurmi alla trasformata di seno e coseno, senza passare per i fratti semplici o i residui.

Grazie

[pilloeffe]

Ciao astrolabio95,

Beh no, riscrivila così:

$ Y(s) = (2s^2+6s+5)/((s+1)(s^2+2s+2)) = 1/(s + 1) + (s + 3)/(s^2+2s+2) = 1/(s + 1) + ((s + 1) + 2)/((s+1)^2 + 1) = $
$ = 1/(s + 1) + (s + 1)/((s+1)^2 + 1) +2/((s+1)^2 + 1) $

Antitrasformando si ha:

$y(t) = e^{-t} + e^{-t} cos t + 2 e^{-t} sin t = e^{-t}(2 sin t + cos t + 1) $

[astrolabio95]

Ciao ti ringrazio per la risposta.

Unica cosa che riesco a capire poco è la decomposizione del numeratore in quelle due quantità

[astrolabio95]

Credo di aver capito, si tratta di una fattorizzazione, giusto?

Tipo

$ A/(s+1) + (Bs+C)/(s^2+2s+2) $

e poi si usa il criterio di uguaglianza dei polinomi

[pilloeffe]

"astrolabio95":Ciao ti ringrazio per la risposta.

Prego.

"astrolabio95":Unica cosa che riesco a capire poco è la decomposizione del numeratore in quelle due quantità

Beh, si tende a decomporre in modo da ottenere fratti di cui sia ben nota l'antitrasformata: puoi dare un'occhiata ad esempio alla tabella che compare qui.

"astrolabio95":
Tipo

$A/(s+1)+(Bs+C)/(s^2+2s+2)$

e poi si usa il criterio di uguaglianza dei polinomi

Yesss...

[astrolabio95]

Grazie ancora, mi è tutto chiarissimo