[RISOLTO] Residui - integrali curvilinei
Dovrei calcolare questi integrali curvilinei a variabile complessa:
- [*:1gnjcvj3]
$int_C e^(1/z^2)$ con $C={z in CC : |z|=1}$
Vorrei procedere applicando il teorema dei residui ma non so come calcolare il residuo della funzione in $z_0=0$...[/*:m:1gnjcvj3]
[*:1gnjcvj3]Idem qua:
$int_C (3z^3+2)/((z-1)(z^2+9)) $ con $C={z in CC : |z|=4}$
Non so come calcolare il residuo in $z_(1,2)=+-3i$ mentre in $z_0=1$ mi è sufficiente il calcolo tramite limite...[/*:m:1gnjcvj3][/list:u:1gnjcvj3]
Risposte
Siano $C= \{ x \in mathbb{C} : |z|=1 \}$ , $f(z) = e^{1/z^2}$. All'interno dell'insieme racchiuso da $C$, $f$ è singolare solamente in $z=0$ e dunque per il teorema dei residui
$$\int_C f(z) dz = 2\pi i Res(f,0) $$
Tutto si riconduce a calcolare tale residuo. Ora, cos'è il residuo di una funzione $f$ in un punto $z_0$?
$$\int_C f(z) dz = 2\pi i Res(f,0) $$
Tutto si riconduce a calcolare tale residuo. Ora, cos'è il residuo di una funzione $f$ in un punto $z_0$?
Eh, ho detto che voglio usare il teorema dei residui e che il mio unico problema è il calcolo di quei due residui...
Praticamente il residuo è il coefficiente del termine del primo termine con esponente negativo della parte principale nella serie di Laurent.
Nel primo caso, in cui la funzione $ f(z) = e^{1/z^2} $ è facilmente sviluppabile grazie anche alle serie notevoli posso dire che non c'è problema nel calcolo del residuo una volta calcolata tale serie di Laurent... Tutto molto bello, ma in questo caso vorrei sapere: dato che mi serve solamente il residuo, come potrei calcolarlo senza sviluppare la serie?!
Idem nel secondo caso, in cui però $ f(z)=(3z^3+2)/((z-1)(z^2+9)) $. Qui ho detto che riesco a calcolare il residuo nella singolarità $z_0=1$ facendo $lim_(z->z_0) (z-z_0)f(z)$ e dunque senza sviluppare in serie di Laurent (cosa che non dovrebbe essere nemmeno banalissima a differenza del caso precedente dell'esponenziale) ma non so come calcolare il residuo in $ z_(1,2)=+-3i $!
Praticamente il residuo è il coefficiente del termine del primo termine con esponente negativo della parte principale nella serie di Laurent.
Nel primo caso, in cui la funzione $ f(z) = e^{1/z^2} $ è facilmente sviluppabile grazie anche alle serie notevoli posso dire che non c'è problema nel calcolo del residuo una volta calcolata tale serie di Laurent... Tutto molto bello, ma in questo caso vorrei sapere: dato che mi serve solamente il residuo, come potrei calcolarlo senza sviluppare la serie?!
Idem nel secondo caso, in cui però $ f(z)=(3z^3+2)/((z-1)(z^2+9)) $. Qui ho detto che riesco a calcolare il residuo nella singolarità $z_0=1$ facendo $lim_(z->z_0) (z-z_0)f(z)$ e dunque senza sviluppare in serie di Laurent (cosa che non dovrebbe essere nemmeno banalissima a differenza del caso precedente dell'esponenziale) ma non so come calcolare il residuo in $ z_(1,2)=+-3i $!
"phigreco":
Praticamente il residuo è il coefficiente del termine del primo termine con esponente negativo della parte principale nella serie di Laurent.
Il coefficiente del termine $1/z$, che è se vuoi è il primo della parte singolare.
"phigreco":
Tutto molto bello, ma in questo caso vorrei sapere: dato che mi serve solamente il residuo, come potrei calcolarlo senza sviluppare la serie?!
In questo caso no, l'unico modo, siccome trattasi di singolarità essenziale, è scrivere la serie, o almeno qualche suo termine. Quindi in questo caso direi che non ci sono problemi se sai scrivere la serie.
"phigreco":
Idem nel secondo caso, in cui però $ f(z)=(3z^3+2)/((z-1)(z^2+9)) $. Qui ho detto che riesco a calcolare il residuo nella singolarità $z_0=1$ facendo $lim_(z->z_0) (z-z_0)f(z)$ e dunque senza sviluppare in serie di Laurent (cosa che non dovrebbe essere nemmeno banalissima a differenza del caso precedente dell'esponenziale) ma non so come calcolare il residuo in $ z_(1,2)=+-3i $!
Siccome trattasi di singolarità di tipo polo è sufficiente calcolare il limite, anche nel caso $\pm 3i$, il fatto che sia un numero immaginario non cambia il procedimento.
In realtà direi che sapevi calcolare il residuo in entrambi i casi!
"Bremen000":
L'unico modo, siccome trattasi di singolarità essenziale, è scrivere la serie, o almeno qualche suo termine
"Bremen000":
Siccome trattasi di singolarità di tipo polo è sufficiente calcolare il limite, anche nel caso $\pm 3i$, il fatto che sia un numero immaginario non cambia il procedimento.
Ottime osservazioni. Ti ringrazio infinitamente
purtroppo ogni tanto mi perdo in un bicchiere d'acqua...
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