Residuo polo di ordine n
nel calcolo dell'integrale $ ∫_0^oox^(alpha)/(1+x)^ndx $ mi sono imbattuto nel calcolo del residuo del polo $ x=-1 $ di ordine n che mi ha messo in difficoltà. potete darmi una mano a capire come calcolarlo?
$ ∫_0^oox^(alpha)/(1+x)^ndx=2pii*Res(-1)=2pii1/((n-1)!)lim_(z->-1)(d^(n-1)/dz^(n-1)z^(alpha)/(z+1)^n (z+1)^n)$
qui mi blocco: $ =2pii1/((n-1)!)((d^(n-1)/dz^(n-1)z^alpha))|_{z=-1 $
$ ∫_0^oox^(alpha)/(1+x)^ndx=2pii*Res(-1)=2pii1/((n-1)!)lim_(z->-1)(d^(n-1)/dz^(n-1)z^(alpha)/(z+1)^n (z+1)^n)$
qui mi blocco: $ =2pii1/((n-1)!)((d^(n-1)/dz^(n-1)z^alpha))|_{z=-1 $
Risposte
Devi calcolare la derivata di una potenza. Cosa ti blocca?
Inoltre, sei sicuro che vada bene? L'intervallo di integrazione non è $\mathbb{R}$, ma solo $[0,\infty)$ e la funzione non è pari. Però è da un po' che non faccio queste cose e potrei non ricordami bene. Che teorema hai usato? Ci sarebbe anche da discutere la convergenza dell'integrale.
Inoltre, sei sicuro che vada bene? L'intervallo di integrazione non è $\mathbb{R}$, ma solo $[0,\infty)$ e la funzione non è pari. Però è da un po' che non faccio queste cose e potrei non ricordami bene. Che teorema hai usato? Ci sarebbe anche da discutere la convergenza dell'integrale.
non lo avevo notato. allora prima studio meglio l'integrale.
intanto, dimmi se ho capito bene: se la funzione fosse stata pari, avrei potuto integrare da meno a più infinito dividendo poi l'integrale per due dal momento che per una funzione pari $ ∫_(-oo)^oof(x)=2∫_0^oo $ giusto?
però ho singolarità lungo l'asse reale negativo, appunto questo polo -1 di ordine n. quindi la strategia che stavo usando era prendere un taglio da 0 a infinito
intanto, dimmi se ho capito bene: se la funzione fosse stata pari, avrei potuto integrare da meno a più infinito dividendo poi l'integrale per due dal momento che per una funzione pari $ ∫_(-oo)^oof(x)=2∫_0^oo $ giusto?
però ho singolarità lungo l'asse reale negativo, appunto questo polo -1 di ordine n. quindi la strategia che stavo usando era prendere un taglio da 0 a infinito
Ciao tgrammer,
Credo che potresti usare la formula che compare in questo thread, che ti riporto per comodità qui di seguito:
$ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] $
a patto che l'integrale $ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $ converga, e questo accade se $ - 1 < \text{Re}[\alpha] < \text{deg}[P(x)] - 1 $ che, essendo nel tuo caso $ \text{deg}[P(x)] = n $ ed immagino $\alpha $ reale, diventa $ - 1 < \alpha < n - 1 $
Per quanto concerne le derivate di qualsiasi ordine di $z^{alpha} $ onestamente non mi pare un grosso problema:
$ \text{d}/(\text{d}z) z^alpha = \alpha z^{\alpha - 1} $
$ \text{d}^2/(\text{d}z^2) z^alpha = \alpha(\alpha - 1) z^{\alpha - 2} $
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$ \text{d}^n/(\text{d}z^n) z^alpha = \alpha(\alpha - 1)\cdot ... \cdot (\alpha - n + 1) z^{\alpha - n} = (\alpha - n + 1)_n z^{\alpha - n} = \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha - n + 1)} z^{\alpha - n} $
Credo che potresti usare la formula che compare in questo thread, che ti riporto per comodità qui di seguito:
$ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x = (2\pi i)/[1 - e^{2\pi \alpha i}] \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] = - \frac{\pi e^{-i\pi \alpha}}{sin(\pi \alpha)} \sum \text{Res} [z^{\alpha}/(P(z))] $
a patto che l'integrale $ \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(P(x)) \text{d}x $ converga, e questo accade se $ - 1 < \text{Re}[\alpha] < \text{deg}[P(x)] - 1 $ che, essendo nel tuo caso $ \text{deg}[P(x)] = n $ ed immagino $\alpha $ reale, diventa $ - 1 < \alpha < n - 1 $
Per quanto concerne le derivate di qualsiasi ordine di $z^{alpha} $ onestamente non mi pare un grosso problema:
$ \text{d}/(\text{d}z) z^alpha = \alpha z^{\alpha - 1} $
$ \text{d}^2/(\text{d}z^2) z^alpha = \alpha(\alpha - 1) z^{\alpha - 2} $
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$ \text{d}^n/(\text{d}z^n) z^alpha = \alpha(\alpha - 1)\cdot ... \cdot (\alpha - n + 1) z^{\alpha - n} = (\alpha - n + 1)_n z^{\alpha - n} = \frac{\Gamma(\alpha + 1)}{\Gamma(\alpha - n + 1)} z^{\alpha - n} $
sei stato chiarissimo, grazie mille
Prego!
Stavo osservando che l'integrale proposto può essere risolto anche facendo uso della funzione beta, infatti si può dimostrare che si ha:
$ B(\alpha + 1, \beta + 1) = \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(1 + x)^{\alpha + 1 + \beta + 1}\text{d}x $
Dunque, posto $n := \alpha + 1 + \beta + 1 \implies \beta + 1 = n - \alpha - 1 $, si ha:
$\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(1 + x)^n \text{d}x = B(\alpha + 1, n - \alpha - 1) = \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n - \alpha - 1)}{\Gamma(n)}$
Ancora più in generale si possono risolvere integrali del tipo seguente:
$\int_0^{+\infty} x^p/(1 + x^m)^n \text{d}x $
Infatti, ponendo $t := x^m \implies \text{d}t = m x^{m - 1} \text{d}x = m t^{1 - 1/m} \text{d}x$, si ha:
$\int_0^{+\infty} x^p/(1 + x^m)^n \text{d}x = 1/m \int_0^{+\infty} t^{p/m + 1/m - 1}/(1 + t)^n \text{d}t = 1/m B((p + 1)/m, n - (p + 1)/m) = 1/m \frac{\Gamma((p + 1)/m)\Gamma(n - (p + 1)/m)}{\Gamma(n)}$
Stavo osservando che l'integrale proposto può essere risolto anche facendo uso della funzione beta, infatti si può dimostrare che si ha:
$ B(\alpha + 1, \beta + 1) = \int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(1 + x)^{\alpha + 1 + \beta + 1}\text{d}x $
Dunque, posto $n := \alpha + 1 + \beta + 1 \implies \beta + 1 = n - \alpha - 1 $, si ha:
$\int_0^{+\infty} x^{\alpha}/(1 + x)^n \text{d}x = B(\alpha + 1, n - \alpha - 1) = \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n - \alpha - 1)}{\Gamma(n)}$
Ancora più in generale si possono risolvere integrali del tipo seguente:
$\int_0^{+\infty} x^p/(1 + x^m)^n \text{d}x $
Infatti, ponendo $t := x^m \implies \text{d}t = m x^{m - 1} \text{d}x = m t^{1 - 1/m} \text{d}x$, si ha:
$\int_0^{+\infty} x^p/(1 + x^m)^n \text{d}x = 1/m \int_0^{+\infty} t^{p/m + 1/m - 1}/(1 + t)^n \text{d}t = 1/m B((p + 1)/m, n - (p + 1)/m) = 1/m \frac{\Gamma((p + 1)/m)\Gamma(n - (p + 1)/m)}{\Gamma(n)}$
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