Residuo in Singolarità Essenziale
Ciao a tutti,
vorrei proporvi questo esercizio per chiedervi se la mia risoluzione è corretta, perchè ho diversi dubbi a proposito.
Data la seguente funzione
[tex]f(z) =z^{2}\sin\biggl(\frac{1}{z-1}\biggr)[/tex]
$z=1$ è un punto di singolarità essenziale e voglio calcolare ivi il residuo sviluppando la funzione in serie e calcolando il coefficiente del termine di grado $-1$.
Sapendo che lo sviluppo del seno è:
[tex]\sin z = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/tex]
e scrivendo $z^2$ come [tex]z^2=[(z-1)+1]^2[/tex]
Vado a scrivere:
[tex]f(z) =[(z-1)+1]^2 \cdot \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n+1}}[/tex]
e, svolgendo il quadrato:
[tex]f(z) =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n-1}}+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2}{(2n+1)!(z-1)^{2n}}+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n+1}}[/tex]
A questo punto mi nascono tutti i possibili dubbi: il coefficiente di grado $-1$ ce l'ho nella prima somma per $n=1$ e nella terza somma per $n=0$, mentre non esiste proprio nella sommatoria centrale.
I coefficienti sono quindi $-1/6$ e $1$ e il residuo: $R[1]=-\frac{1}{6}+1=\frac{5}{6}$.
Sinceramente c'è qualcosa che non mi torna e ho l'impressione di aver sbagliato qualcosa. Parafrasando Noaro, per questo esercizio sono entrato in polemica tra me e il sottoscritto
C'è qualcuno che riesce a dirmi se il procedimento è corretto o presenta un bug all'interno?
Grazie!
vorrei proporvi questo esercizio per chiedervi se la mia risoluzione è corretta, perchè ho diversi dubbi a proposito.
Data la seguente funzione
[tex]f(z) =z^{2}\sin\biggl(\frac{1}{z-1}\biggr)[/tex]
$z=1$ è un punto di singolarità essenziale e voglio calcolare ivi il residuo sviluppando la funzione in serie e calcolando il coefficiente del termine di grado $-1$.
Sapendo che lo sviluppo del seno è:
[tex]\sin z = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}z^{2n+1}[/tex]
e scrivendo $z^2$ come [tex]z^2=[(z-1)+1]^2[/tex]
Vado a scrivere:
[tex]f(z) =[(z-1)+1]^2 \cdot \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n+1}}[/tex]
e, svolgendo il quadrato:
[tex]f(z) =\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n-1}}+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{2}{(2n+1)!(z-1)^{2n}}+\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(z-1)^{2n+1}}[/tex]
A questo punto mi nascono tutti i possibili dubbi: il coefficiente di grado $-1$ ce l'ho nella prima somma per $n=1$ e nella terza somma per $n=0$, mentre non esiste proprio nella sommatoria centrale.
I coefficienti sono quindi $-1/6$ e $1$ e il residuo: $R[1]=-\frac{1}{6}+1=\frac{5}{6}$.
Sinceramente c'è qualcosa che non mi torna e ho l'impressione di aver sbagliato qualcosa. Parafrasando Noaro, per questo esercizio sono entrato in polemica tra me e il sottoscritto
C'è qualcuno che riesce a dirmi se il procedimento è corretto o presenta un bug all'interno?
Grazie!
Risposte
Mi pare giusto.
Al massimo, controlla i conti.
Al massimo, controlla i conti.
Grazie mille 
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