Residuo all'infinito
Continuo ad avere problemi con i punti all'infinito, in particolare non mi torna qualcosa riguardo al residuo. Ho visto anche la nuova guida di gugo che è ottima e mi ha chiarito diversi dubbi esistenziali.
La definizione è:
Si dice residuo del punto all'infinito $-1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$
Tuttavia vi sono funzioni, ad esempio: $f(z)=1/(z-a), a≠0$, che mi creano problemi...
lo sviluppo in z=0 è: $-1/a\sum_(k=0)^(oo)(z/a)^k$ ma in questo caso non vale $-a_(-1)$ giusto? In buona sostanza la parte nel quote del prof. vale solo se lo sviluppo $\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ converge a infinito, se no mi pare insensata tutta questa cosa.
Buona serata
La definizione è:
Si dice residuo del punto all'infinito $-1/(2pii)\int_(\gamma) f(z) dz$
il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$
Tuttavia vi sono funzioni, ad esempio: $f(z)=1/(z-a), a≠0$, che mi creano problemi...
lo sviluppo in z=0 è: $-1/a\sum_(k=0)^(oo)(z/a)^k$ ma in questo caso non vale $-a_(-1)$ giusto? In buona sostanza la parte nel quote del prof. vale solo se lo sviluppo $\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ converge a infinito, se no mi pare insensata tutta questa cosa.
Buona serata
Risposte
"harperf":
Il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$
Tuttavia vi sono funzioni, ad esempio: $f(z)=1/(z-a), a≠0$, che mi creano problemi...
lo sviluppo in z=0 è: $-1/a\sum_(k=0)^(oo)(z/a)^k$ ma in questo caso non vale $-a_(-1)$ giusto? In buona sostanza la parte nel quote del prof. vale solo se lo sviluppo $\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ converge a infinito, se no mi pare insensata tutta questa cosa.
Hai ragione. Lo sviluppo deve convergere. Qui abbiamo, in un interno dell'infinito: $1/(z-a)=\sum {a^n}/{z^{n+1}}$ e il residuo $=-a_{-1}=-1$.
Ciao euclidino, grazie per la conferma. Siccome sono abbastanza tonto volevo chiederti come avessi ottenuto:
1)
$1/(z-a)=\sum {a^n}/{z^{n+1}}$
Hai sviluppato: $f(z=1/t)=\sum_(k>=0)a^kt^(k+1)=t+at^2+a^2t^3...$ e apportato la sosttuzione inversa $t=1/z$, cioé:
$f(z)=\sum_(k>=0)a^k/z^(k+1)=1/z+a1/z^2+a^21/z^3...$ gusto?
-----------------
2)
Chiarito questo mi viene un altro dubbio: ma se sostituissi per sviluppare a infinito, anziché: $t=1/z$ il valore $t=1/(z-a)$ e calcolassi t in zero, avrei: $f(a+1/t)=t$ cioé in pratica lo sviluppo sarebbe $a_(-1)=1/(z-a)$
In pratica mi sembra che valgano sia le sostituzioni $t=1/z$ che $t=1/(z-a)$ (una sorta di traslazione) per sviluppare a infinito
Grazie per i due chiarimenti
1)
$1/(z-a)=\sum {a^n}/{z^{n+1}}$
Hai sviluppato: $f(z=1/t)=\sum_(k>=0)a^kt^(k+1)=t+at^2+a^2t^3...$ e apportato la sosttuzione inversa $t=1/z$, cioé:
$f(z)=\sum_(k>=0)a^k/z^(k+1)=1/z+a1/z^2+a^21/z^3...$ gusto?
-----------------
2)
Chiarito questo mi viene un altro dubbio: ma se sostituissi per sviluppare a infinito, anziché: $t=1/z$ il valore $t=1/(z-a)$ e calcolassi t in zero, avrei: $f(a+1/t)=t$ cioé in pratica lo sviluppo sarebbe $a_(-1)=1/(z-a)$
In pratica mi sembra che valgano sia le sostituzioni $t=1/z$ che $t=1/(z-a)$ (una sorta di traslazione) per sviluppare a infinito
Grazie per i due chiarimenti
Ciao harperf,
Mi pare che tu la stia facendo più complicata di quello che è, perché nell'intorno in questione semplicemente si ha:
$ 1/(z-a) = 1/(z(1 - a/z)) = 1/z \sum (a/z)^n = \sum {a^n}/{z^{n+1}} $
Mi pare che tu la stia facendo più complicata di quello che è, perché nell'intorno in questione semplicemente si ha:
$ 1/(z-a) = 1/(z(1 - a/z)) = 1/z \sum (a/z)^n = \sum {a^n}/{z^{n+1}} $
Ciao pilloeffe,
il problema è che procedere così mi pare formalmente errato, intendo dire: in $z=oo$ non è un punto reale, per questo credo si faccia la sostituzione $z=1/t$ (e la storia della sfera di riemann), ovviamente sono d'accordo funzioni a conti fatti fare come suggerisci, tuttavia io chiedevo se a livello logico si svolgesse come nel mio ultimo post nel punto 1). Poi per i conti agirei come fatto tu.
Mentre del punto 2? Non riesco a capire se sia sbagliato o meno.
Buona giornata ragazi
il problema è che procedere così mi pare formalmente errato, intendo dire: in $z=oo$ non è un punto reale, per questo credo si faccia la sostituzione $z=1/t$ (e la storia della sfera di riemann), ovviamente sono d'accordo funzioni a conti fatti fare come suggerisci, tuttavia io chiedevo se a livello logico si svolgesse come nel mio ultimo post nel punto 1)
. Poi per i conti agirei come fatto tu.Mentre del punto 2? Non riesco a capire se sia sbagliato o meno.
Buona giornata ragazi
Si però bisogna cambiare variabile in \(f(z)dz\), non solo in \(f(z)\). Si pone \(z=1/w\), cosicché \(dz=-dw/w^2\), e si studia
\[
-\frac{f(1/w)}{w^2}\, dw, \]
in un intorno di \(w=0\).
\[
-\frac{f(1/w)}{w^2}\, dw, \]
in un intorno di \(w=0\).
Ciao dissonance,
sì certo si può fare così. Ma in realtà è identico a fare (dopo aver riprostinato t->z)
sbaglio?
O si calcola il residuo con la definizione solita e non si cambia il segno, ma si introduce lo jacobiano... oppure si definisce in modo diverso come nel quote.
-------------
Se quanto ho detto non sono solo cavolate,mi chiedo però il punto 2), sostituire in quel modo cosa comporterebbe
[EDIT]
Ho trovato, peraltro, proprio ora un esercizio che capita a fagiuolo:
Discutere le proprieta di analiticit`a al finito e all’infinito della funzione
$f(z)=(z-b)^nsin(1/(z-b))$
con $b$ nei complessi e $n$ negli interi
Sepotessi apportare la sostituzione di cui parlavo sarebbe facilissimo, se sostituissi $z=1/t$ è più un pasticcio.
sì certo si può fare così. Ma in realtà è identico a fare (dopo aver riprostinato t->z)
il professore ha poi precisato che sarebbe il coefficiente dello sviluppo di Laurent (o Taylor) della potenza -1 cambiato di segno, in simboli:
$\sum_(k=-oo)^(oo) a_kz^k$ cioè sarebbe il residuo il valore $-a_(-1)$
sbaglio?
O si calcola il residuo con la definizione solita e non si cambia il segno, ma si introduce lo jacobiano... oppure si definisce in modo diverso come nel quote.
-------------
Se quanto ho detto non sono solo cavolate,mi chiedo però il punto 2), sostituire in quel modo cosa comporterebbe
"harperf":
2)
Chiarito questo mi viene un altro dubbio: ma se sostituissi per sviluppare a infinito, anziché: $t=1/z$ il valore $t=1/(z-a)$ e calcolassi t in zero, avrei: $f(a+1/t)=t$ cioé in pratica lo sviluppo sarebbe $a_(-1)=1/(z-a)$
In pratica mi sembra che valgano sia le sostituzioni $t=1/z$ che $t=1/(z-a)$ (una sorta di traslazione) per sviluppare a infinito
Grazie per i due chiarimenti
[EDIT]
Ho trovato, peraltro, proprio ora un esercizio che capita a fagiuolo:
Discutere le proprieta di analiticit`a al finito e all’infinito della funzione
$f(z)=(z-b)^nsin(1/(z-b))$
con $b$ nei complessi e $n$ negli interi
Sepotessi apportare la sostituzione di cui parlavo sarebbe facilissimo, se sostituissi $z=1/t$ è più un pasticcio.
1) Ho ottenuto $1/{z-a} = \sum_{k \ge 0} {a^n}/{z^{n+1}}$ come ha fatto pilloeffe. Ma puoi anche porre $t=1/z$.
2) Puoi anche porre $t=1/{z-a}$, ma come ha detto dissonance :
$\int f(z) dz = - \int f(a+1/t) 1/{t^2} dt$
e il residuo di - $f(a+1/t) 1/{t^2} = -1/t$ per $t=0$ è $-1$.
2) Puoi anche porre $t=1/{z-a}$, ma come ha detto dissonance :
$\int f(z) dz = - \int f(a+1/t) 1/{t^2} dt$
e il residuo di - $f(a+1/t) 1/{t^2} = -1/t$ per $t=0$ è $-1$.
Grazie
"harperf":
Ho trovato, peraltro, proprio ora un esercizio che capita a fagiuolo:
Discutere le proprieta di analiticit`a al finito e all’infinito della funzione
$f(z)=(z-b)^nsin(1/(z-b))$
con $b$ nei complessi e $n$ negli interi
Semplice… Serve conoscere Analisi I per risolvere l’esercizio.
Del resto, si intuisce che la traslazione non può essere influente. Sia \(a\in\mathbb C\) e definiamo
\[
f_a(z):=f(z+a).\]
Allora, per calcolare il residuo all'infinito dobbiamo studiare
\[
-\frac{1}{w^2}f_a(1/w)\, dw, \]
ovvero
\[
-\frac{1}{w^2}f(\frac{1}{w}+a)\, dw, \]
in un intorno di \(w=0\), in cui però il termine \(\frac{1}{w}\) è dominante rispetto ad \(a\), perché
\[
\lim_{w\to 0}\frac{1}{|w|}=\infty.\]
Quindi, ci aspettiamo che la traslazione non sia influente sul residuo all'infinito.
Questa è solo una cosa intuitiva, che si può formalizzare nelle maniere che sono state viste in questo topic.
\[
f_a(z):=f(z+a).\]
Allora, per calcolare il residuo all'infinito dobbiamo studiare
\[
-\frac{1}{w^2}f_a(1/w)\, dw, \]
ovvero
\[
-\frac{1}{w^2}f(\frac{1}{w}+a)\, dw, \]
in un intorno di \(w=0\), in cui però il termine \(\frac{1}{w}\) è dominante rispetto ad \(a\), perché
\[
\lim_{w\to 0}\frac{1}{|w|}=\infty.\]
Quindi, ci aspettiamo che la traslazione non sia influente sul residuo all'infinito.
Questa è solo una cosa intuitiva, che si può formalizzare nelle maniere che sono state viste in questo topic.
@dissonance: grazie mi avete aiutato a mettere un gran ordine alle idee.
@gugo: sono pervenuto, ovviamente, allo stesso risultato sostituendo e sviluppando. Però che stupido, era davvero più immediato così
.Grazie mille
Non so perché ma non avevo pensato che fare il limite a infinito e scrivere 1/t con t in zero erano la stessa cosa a conti fatti. Non riesco ancora a muovermi liberamente in questi concetti, sono ottuso.
@gugo: sono pervenuto, ovviamente, allo stesso risultato sostituendo e sviluppando. Però che stupido, era davvero più immediato così
.Grazie milleNon so perché ma non avevo pensato che fare il limite a infinito e scrivere 1/t con t in zero erano la stessa cosa a conti fatti. Non riesco ancora a muovermi liberamente in questi concetti, sono ottuso.
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