Relazione tra autovalori di operatore compatto e la sua approssimazione

[fragn11]

Sappiamo che se $T$ è un operatore compatto, allora esiste $T_n$ una successione di operatori di rango finito (dunque a loro volta compatti) che lo approssimano, dunque $||T-T_n||\to 0$. Ho due dubbi:

1. E' vero che ogni possibile successione di autovalori $\mu_n$ di $T_n$ converge a un autovalore di $T$?
Sembrerebbe di si, dal momento che, dato $x_n$ autovettore unitario:
$$
||\mu_nx_n-Tx_n||=||T_nx_n-Tx_n||\leq||T-T_n||\to 0
$$
Ma mi sembra strano.

2. E' sempre possibile trovare, per ogni autovalore di $T$, una successione di operatori $T_n$ tali che posseggano una successione di autovalori $\mu_n$ che converga all'autovalore di $T$?

[dissonance]

Secondo me qui ci sono le risposte a tutte le domande (ma la 2 non é formulata in modo preciso):

https://math.stackexchange.com/q/1235948/8157

[fragn11]

Grazie. Nel frattempo ho pensato questo: se $P_n$ è la proiezione sui primi $n$ elementi di una base ortonormale, allora $TP_n$ dovrebbe essere una successione di operatori a rango finito convergente a $T$ e con esatttamente gli stessi autovalori, con autovettori $P_ny$ ($y$ autovettore di $T$)