Rappresentazione delta di dirac in serie di fourier
Ciao, in un libro ho trovato il seguente risultato che non riesco a spiegarmi.
Si consideri una lastra con spessore $a$ centrata nell'origine di modo da avere uno spessore di $a/2$ a sinistra e a destra dello zero. Consideriamo di avere una sorgente piana (per esempio di calore) nel piano di simmetria passante per l'origine (una sorta di configurazione a sandwich). Considerando solo la dimensione $x$ (quella dello spessore) e immaginiamo di risolvere un problema di diffusione con reazione per una grandezza $f$. In particolare viene scritta l'equazione :
$$\Delta f +kf= S\delta(\mathbf x - \mathbf x_0)$$
dove $S$ è la costante che dà l'intensità della sorgente. In una dimensione
$$\frac {\partial^2 f}{\partial x^2} +kf= S\delta(x-x_0)$$
Ecco ora nel libro che stavo leggendo dice che la funzione $f$ sarà del tipo somma di coseni (credo dovrebbe essere una serie di Fourier, ma date le condizioni al contorno e per ragioni di simmetria si semplificavano tutti i termini contenenti il seno). A questo punto per trovare i coefficienti dice che
$$S\delta(x-x_0) = \frac {2S}{a} \left( \sum_{n \text{odd}} \cos(\frac {n\pi x} a)\cos(\frac {n\pi x_0} a) + \sum_{n \text{even}} \sin(\frac {n\pi x} a)\sin(\frac {n\pi x_0} a) \right)$$
Qualcuno mi saprebbe dire come ricavare quest'ultima formula, perché mi potrebbe essere utile per risolvere un paio di altri problemi.
Grazie mille
Ric
PS: di primo acchito penso sia collegata alla trasformata di Fourier della delta di dirac, però mi sono un po' impastato con i conti e non mi viene bene... Magari riprovo domani che adesso è un po' tardi
Si consideri una lastra con spessore $a$ centrata nell'origine di modo da avere uno spessore di $a/2$ a sinistra e a destra dello zero. Consideriamo di avere una sorgente piana (per esempio di calore) nel piano di simmetria passante per l'origine (una sorta di configurazione a sandwich). Considerando solo la dimensione $x$ (quella dello spessore) e immaginiamo di risolvere un problema di diffusione con reazione per una grandezza $f$. In particolare viene scritta l'equazione :
$$\Delta f +kf= S\delta(\mathbf x - \mathbf x_0)$$
dove $S$ è la costante che dà l'intensità della sorgente. In una dimensione
$$\frac {\partial^2 f}{\partial x^2} +kf= S\delta(x-x_0)$$
Ecco ora nel libro che stavo leggendo dice che la funzione $f$ sarà del tipo somma di coseni (credo dovrebbe essere una serie di Fourier, ma date le condizioni al contorno e per ragioni di simmetria si semplificavano tutti i termini contenenti il seno). A questo punto per trovare i coefficienti dice che
$$S\delta(x-x_0) = \frac {2S}{a} \left( \sum_{n \text{odd}} \cos(\frac {n\pi x} a)\cos(\frac {n\pi x_0} a) + \sum_{n \text{even}} \sin(\frac {n\pi x} a)\sin(\frac {n\pi x_0} a) \right)$$
Qualcuno mi saprebbe dire come ricavare quest'ultima formula, perché mi potrebbe essere utile per risolvere un paio di altri problemi.
Grazie mille
Ric
PS: di primo acchito penso sia collegata alla trasformata di Fourier della delta di dirac, però mi sono un po' impastato con i conti e non mi viene bene... Magari riprovo domani che adesso è un po' tardi
Risposte
Grazie. Ora riprovo a fare i conti e vedere se mi torna.
Si, non c'è da fare grandi conti. Quella è semplicemente la formula
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{2\pi i n x}, \]
traslata di \(x_0\) e scritta in forma reale.
P.S.: Scrivo \(\delta_P\) per dire "\(\delta\) periodica", ovvero
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(x-n).\]
E' il pettine di Dirac, che nel link a Wikipedia viene chiamato con nomi per me strampalati ("\(III\)" o cose del genere).
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} e^{2\pi i n x}, \]
traslata di \(x_0\) e scritta in forma reale.
P.S.: Scrivo \(\delta_P\) per dire "\(\delta\) periodica", ovvero
\[
\delta_P(x)=\sum_{n\in\mathbb Z} \delta(x-n).\]
E' il pettine di Dirac, che nel link a Wikipedia viene chiamato con nomi per me strampalati ("\(III\)" o cose del genere).
Ciao, mi scusi se non mi sono fatto vivo, è che non ho avuto molto tempo libero in questi giorni. Grazie mille per la risposta 
Ma cosa mi dai, del lei?
Se fossimo l'uno di fronte all'altro, le darei del Lei: perché non va bene usarlo qua allora ?
E perché mi daresti del lei? Comunque, l'etichetta di questo forum è che ci si da tutti e tutte del tu. Fallo anche tu per favore. 
E perché mi daresti del lei?
Abitudine. Inoltre mi piace come usanza della nostra lingua: è una forma di rispetto molto elegante.
PS: D'accordo ti darò del "tu"; anche se mi fa un po' strano
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