Raggio di convergenza Serie di Taylor di f(z)

[Falco37]

Buonasera,
stavo ragionando riguardo il raggio di convergenza della serie di Taylor;
il testo dice questo:
Qual è il raggio di convergenza della serie di Taylor di f di punto iniziale $ (1+i)/4 $ ?

dove [tex]f(z)=\frac{e^{2z-1}-1}{cos(\pi z)(z^2+1)}[/tex]
la risposta esatta è: [tex]\frac{\sqrt{10}}{4}[/tex]

Ho provato a considerare la serie di taylor come una particolare serie di potenze il cui termine an è dato dalla derivata n-esima ecc. Tuttavia mi son reso conto che non è il modo giusto per procedere perchè mi risulta difficile fare il limite sotto radice di an. Voi come procedereste? in alcuni casi (non in questo) ho visto mettere sotto radice il quadrato della parte reale + il quadrato della parte immaginaria. Ma non ho mai capito il perchè. Probabilmente non ho conoscenze adeguate riguardo le serie di potenze.
Grazie per la disponibilità e buona serata

[Sk_Anonymous]

Basta che guardi dove sta la singolarità più vicina, e poi ti calcoli la distanza. Se fai un disegno del piano complesso dovresti vederlo facilmente. La formula con la radice di cui parli è la distanza di un punto dall'origine, si vede che in quei casi la singolarità più vicina era proprio nell'origine

[Falco37]

Ti ringrazio
Ma perché si fa in questo modo teoricamente parlando?

[Sk_Anonymous]

Be' lo sviluppo di Taylor per una funzione complessa è definito a partire dalla rappresentazione integrale di cauchy, che peró vale nei punti di un insieme in cui la funzione è analitica.
In un punto singolare, la rappresentazione cessa di valere e lo sviluppo si interrompe, e questo "confine" è espresso proprio dal raggio di convergenza

[Falco37]

molto gentile e preciso, grazie