Raggio di convergenza e funzione olomorfa
Probabilmente sarà una scemata che mi sfugge.
Dimostra che se \( a_n \in \mathbb{C} \) e
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| <1 \]
allora \[ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n \]
è olomorfa nel disco unitario aperto.
Io ho fatto così, ponendo \( a_1=1 \), voglio controllare che converge normalmente,
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{z \in \mathbb{D} } \left| a_n z^n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \right| \leq \left|1 \right| + \sum_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| < 2 \]
e pertanto converge normalmente, dunque è olomorfa.
Ma non capisco perché le soluzioni dicono semplicemente:
La \( f \) è una serie intera con raggio di convergenza almeno \( 1 \) siccome per ogni \( n \) abbiamo
\( \left| a_n \right| < 1 \) dunque olomorfa nel disco.
Ora non capisco una cosa. Sono d'accordo che se una serie intera ha raggio di convergenza \(1 \) allora definisce una funzione olomorfa nel disco unitario.
Però il raggio di convergenza è definito così
\[ \rho := \sup_{r} \{ r \in [0,\infty) : \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n \right|r^n < \infty \} \]
Pertanto non è sufficiente che \( \left| a_n \right| < 1 \) per dire che ha raggio di convergenza \( 1 \).
Dimostra che se \( a_n \in \mathbb{C} \) e
\[ \sum_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| <1 \]
allora \[ f(z) = z + \sum_{n=2}^{\infty} a_n z^n \]
è olomorfa nel disco unitario aperto.
Io ho fatto così, ponendo \( a_1=1 \), voglio controllare che converge normalmente,
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \sup_{z \in \mathbb{D} } \left| a_n z^n \right| \leq \sum_{n=1}^{\infty} \left| a_n \right| \leq \left|1 \right| + \sum_{n=2}^{\infty} n \left| a_n \right| < 2 \]
e pertanto converge normalmente, dunque è olomorfa.
Ma non capisco perché le soluzioni dicono semplicemente:
La \( f \) è una serie intera con raggio di convergenza almeno \( 1 \) siccome per ogni \( n \) abbiamo
\( \left| a_n \right| < 1 \) dunque olomorfa nel disco.
Ora non capisco una cosa. Sono d'accordo che se una serie intera ha raggio di convergenza \(1 \) allora definisce una funzione olomorfa nel disco unitario.
Però il raggio di convergenza è definito così
\[ \rho := \sup_{r} \{ r \in [0,\infty) : \sum_{n=0}^{\infty} \left| a_n \right|r^n < \infty \} \]
Pertanto non è sufficiente che \( \left| a_n \right| < 1 \) per dire che ha raggio di convergenza \( 1 \).
Risposte
C'è il criterio di Hadamard,
\[
\rho^{-1}=\limsup_{n\to \infty} |a_n|^\frac1n, \]
quindi se \(|a_n|<1\) allora \(\rho^{-1}\le 1\).
\[
\rho^{-1}=\limsup_{n\to \infty} |a_n|^\frac1n, \]
quindi se \(|a_n|<1\) allora \(\rho^{-1}\le 1\).
"dissonance":
C'è il criterio di Hadamard,
\[
\rho^{-1}=\limsup_{n\to \infty} |a_n|^\frac1n, \]
quindi se \(|a_n|<1\) allora \(\rho^{-1}\le 1\).
L'ho detto io che era una scemata che mi sfuggeva, non ci avevo proprio pensato! Grazie.
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