Raggio di convergenza

[Silence1]

Buondì, ho qui un esercizio per cui mi manca un pezzetto di procedimento.

Voglio classificare le singolarità e calcolare il raggio di convergenza centrato in $z_0=1+2i$ di : $f(z)=e^(1/(z^2-1))$

Dunque, le singolarità sono $z=+-1$ e sono entrambe essenziali, dunque mi aspetterò che lo sviluppo di Laurent abbia infiniti termini a potenza negativa di $(z+-1)$. Il problema arriva col raggio di convergenza.

Sviluppando la funzione secondo Laurent ho $f(z)=sum_(n=0)^oo1/(n!)1/((z+1)^n(z-1)^n)$ che appunto ha i famosi infiniti termini a potenza negativa di cui sopra. Detto ciò, la soluzione mi dice, senza fare alcun conto, che "il raggio di convergenza è la distanza dal punto all'insieme delle singolarità, e *pertanto* è uguale a 2".

Non capisco cosa ci sia dietro quel "pertanto".

Grazie

[dissonance]

C'è la teoria.

Quello che hai trovato NON è lo sviluppo che a te serve; a te servirebbe lo sviluppo
\[
f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-(1+2i))^n, \]
dove gli \(a_n\) sono opportuni coefficienti. Ma non è necessario starseli a calcolare, visto che vuoi solo il raggio di convergenza. La teoria ti dice che sul bordo del disco di convergenza di una serie di potenze deve per forza esserci qualche singolarità, e questa funzione ne ha solo due, quindi etc etc...

[Silence1]

Ok, allora avevo fatto bene all'inizio. Ero partito con quell'idea, ma aver letto una risposta così sintetica mi ha fatto pensare che ci fosse una qualche magia per tirar fuori il raggio senza alcun conto (per quanto breve).

Grazie