Radici n-esime

[Dxerxes]

Salve ragazzi sto svolgendo questo integrale (tramite residui) ma quando vado a calcolare le radini n-esime ho un problema.
$\int_+delD 1/((z^5 + pi)(z-3)^2) dz $ con $D=|z|<2$
subito noto che andando a calcolare le singolarità, $z_0=3$ è un polo doppio ma non rientra in $delD$ quindi lo escludo. Il problema è quel $z^5+ pi =0$ che crea problemi perchè andando a calcolare le radici vengono valori strani.
Se applico la formula $ (root(n)(z) (cos( alpha_k) + i sin(alpha_k))$ mi ritrovoa calcolare valori tipo $root(5)(pi)(cos(2/5 pi)+ i sin(2/5pi))$ e così via fino alla radice quinta...
Invece con la formula esponenziale ottengo $root(5)(pi)(e^(i(2kpi/5)))$ fino alla radice quinta, tipo $root(5)(pi)(e^(i(2pi/5)))$
Da quel che ho visto è che tutte le radici rientrano in D, quindi dovrei calcolare 5 residui in questi poli così strani

Ho sbagliato qualcosa o devo accettare il mio triste destino oppure c'è qualche meccanismo che non conosco?
vi ringrazio in anticipo

[anonymous_0b37e9]

"Dxerxes":
... quindi dovrei calcolare 5 residui in questi poli così strani ...

In realtà, poiché poli complessi coniugati hanno residui complessi coniugati, ne bastano 3.

[Dxerxes]

grazie della risposta, ma le 5 radici non sono tutte diverse?
In ogni caso continueresti con il calcolo dei residui?
Tipo $Res(root(5)(pi)(e^(i 2/5 pi))) = lim_( z->z_0)...$ ecc...
A me questo tipo di calcolo che spaventa, se capita all'esame probile che sbaglio

[anonymous_0b37e9]

I poli interni sono sicuramente 5. Tuttavia:

$[z=-root(5)(\pi)]$ è reale

$[z=root(5)(\pi)e^(i1/5\pi)]$ è il complesso coniugato di $[z=root(5)(\pi)e^(-i1/5\pi)]$

$[z=root(5)(\pi)e^(i3/5\pi)]$ è il complesso coniugato di $[z=root(5)(\pi)e^(-i3/5\pi)]$

Intendevo dire che il residuo in$[z=root(5)(\pi)e^(i1/5\pi)]$ è il complesso coniugato del residuo in $[z=root(5)(\pi)e^(-i1/5\pi)]$ e che il residuo in $[z=root(5)(\pi)e^(i3/5\pi)]$ è il complesso coniugato del residuo in $[z=root(5)(\pi)e^(-i3/5\pi)]$. Per questo motivo è sufficiente calcolare esplicitamente solo 3 residui, per esempio, nei poli seguenti:

$[z=-root(5)(\pi)] vv [z=root(5)(\pi)e^(i1/5\pi)] vv [z=root(5)(\pi)e^(i3/5\pi)]$

"Dxerxes":
In ogni caso continueresti con il calcolo dei residui?

Nessuno vieta di calcolare l'integrale esplicitamente, parametrizzando la curva:

$[z=2e^(i\theta)] rarr [dz=2ie^(i\theta)d\theta] rarr [I=\int_0^(2\pi)(2ie^(i\theta))/((32e^(5i\theta)+\pi)(2e^(i\theta)-3)^2)d\theta]$

Ma non mi sembra assolutamente il caso.

[Dxerxes]

Ho capito!
Non mi trovavo perchè come radici n-esime io consideravo $root(5)(pi)e^(i ((2 k pi)/5))$ con $k in NN$ quindi non consideravo anche i negativi, ma semplicemente 0,1,2,3 e 4 ... per questo non mi trovavo con il ragionamento dei complessi coniugati /:
Comunque come radici mi trovo:

$z_0 = - root(5)(pi)$
$z_1 = root(5)(pi)e^(i(2pi/5))$ con k=1
$z_2=root(5)(pi)e^-(i(2pi/5))$ con k=-1
$z_3=root(5)(pi)e^(i(4pi/5))$ con k=2
$z_3=root(5)(pi)e^(-i(4pi/5))$ con k=-2