Quesito su Teoria delle produttorie

[alessandro.mandile.7]

Salve,

ho un quesito interessante sulla teoria delle produttorie.

Successioni $P_n$ e $X_n$
\begin{equation*}
\scriptsize
\label{eqn5}
\begin{alignedat}{2}
n=1 & \qquad
P_1 = \begin{bmatrix}
1 & \\
b_0
\end{bmatrix}
\\
n=2 & \qquad
P_2 = \begin{bmatrix}
1 & \\
b_0 & b_1 \\
b_1b_0 &
\end{bmatrix}
\\
n=3 & \qquad
P_3 = \begin{bmatrix}
1\\
b_0 & b_1 & b_2\\
b_1b_0 & b_2b_0 & b_2b_1\\
b_2b_1b_0\\
\end{bmatrix}
\\
n=4 & \qquad
P_4 = \begin{bmatrix}
1\\
4b_0 & 3b_1 & 2b_2 & b_3\\
3b_1b_0 & 2b_22b_0 & 2b_2b_1 & b_33b_0 & b_32b_1 & b_3b_2\\
2b_2b_1b_0 & b_32b_1b_0 & b_3b_22b_0 & b_3b_2b_1\\
b_3b_2b_1b_0
\end{bmatrix}
\\
n=5 & \qquad
P_5 = \dots
\\
\\
\\
\\
n=1 & \qquad
X_1 = \begin{bmatrix}
1 & \\
b_0
\end{bmatrix}
\\
n=2 & \qquad
X_2 = \begin{bmatrix}
1 & \\
2b_0 & b_1 \\
b_1b_0 &
\end{bmatrix}
\\
n=3 & \qquad
X_3 = \begin{bmatrix}
1\\
3b_0 & 2b_1 & b_2\\
2b_1b_0 & b_22b_0 & b_2b_1\\
b_2b_1b_0
\end{bmatrix}
\\
n=4 & \qquad
X_4 = \begin{bmatrix}
1\\
4b_0 & 3b_1 & 2b_2 & b_3\\
3b_1b_0 & 2b_22b_0 & 2b_2b_1 & b_33b_0 & b_32b_1 & b_3b_2\\
2b_2b_1b_0 & b_32b_1b_0 & b_3b_22b_0 & b_3b_2b_1\\
b_3b_2b_1b_0
\end{bmatrix}
\\
n=5 & \qquad
X_5 = \dots
\end{alignedat}
\end{equation*}

La successione $P_n$ può essere scritta in maniera molto compatta come una semplice produttoria $$\prod_{i=0}^{n-1} (1+b_i)$$
La successione $X_n$ è ottenuta dalla $P_n$ con l'introduzione di una funzione peso lineare relativa alla distanza dall'indice principale e tra i termini $b_i$.

QUESITO: E' possibile scrivere la $X_n$ come una sommatoria compatta al più con un operatore agente su di essa?

[alessandro.mandile.7]

Scusate mancava il secondo punto di domanda.

QUESITO n2: E' invece possibile scrivere $X_n$ come una produttoria compatta con al più un operatore agente su di essa?

[alessandro.mandile.7]

Scusate tutti ma c'è un errore fuorviante su $P_4$:

i coefficienti davanti ai vari prodotti $b_n$ sono tutti unitari

$P_4$ = \begin{bmatrix}
1\\
b_0 & b_1 & b_2 & b_3\\
b_1b_0 & b_2b_0 & b_2b_1 & b_3b_0 & b_3b_1 & b_3b_2\\
b_2b_1b_0 & b_3b_1b_0 & b_3b_2b_0 & b_3b_2b_1\\
b_3b_2b_1b_0
\end{bmatrix}

Buone Feste.