Quesito analisi complessa

[Wwweeerrr1]

Vorrei calcolare $\int_{C(0,2a)} e^z/(a^2+z^2) dz, a>0$. Ho scritto $a^2+z^2=(z+ia)(z-ia)$ ed intendo usare la formula di Cauchy per la circonferenza. Tuttavia $ia, -ia in D(0,2a)$ e questo mi impedisce di utilizzare detto teorema scrivendo l'integranda come $(e^z/(z-ia))/(z+ia)$ ad esempio, perché avrei che la funzione al num non è olomorfa in $D(0,2a)$. Sapete qualche trucchetto per ovviare a questo problema?

[gugo82]

Teorema dei Residui.

[pilloeffe]

Ciao Lorz,

Nel caso dell'integrale proposto, il teorema dei residui che ti ha già suggerito gugo82 si scrive in maniera molto semplice; infatti posto $f(z) := e^z/(z^2+ a^2) = e^z/((z - ia)(z + ia)) $ e detti $z_1 = ia $ e $z_2 = - ia $ i due poli semplici della funzione $f(z) $ entrambi interni alla circonferenza $|z| = 2a > 0 $, si ha:

$\oint_{|z| = 2a} f(z) \text{d}z = 2\pi i {\text{Res}[f(z); z_1] + \text{Res}[f(z); z_2]} = 2\pi i {e^{ia}/(2ia) - e^{- ia}/(2ia)} = 2\pi i (sin a)/a $

In alternativa potresti usare il trucchetto seguente:

$f(z) = e^z/((z - ia)(z + ia)) = 1/(2ia) ((e^z)/(z - ia) - (e^z)/(z + ia)) $

Pertanto posto $g(z) = e^z $ e considerando la formula integrale di Cauchy $ g(z_i) = 1/(2\pi i) \oint_{|z| = 2a} g(z)/(z - z_i) \text{d}z $, $i = 1, 2 $, si ha:

$\oint_{|z| = 2a} f(z) \text{d}z = 1/(2ia) (\oint_{|z| = 2a} e^z/(z - ia) \text{d}z - \oint_{|z| = 2a} e^z/(z + ia) \text{d}z) = $
$ = \pi/a (1/(2\pi i) \oint_{|z| = 2a} e^z/(z - ia) \text{d}z - 1/(2\pi i) \oint_{|z| = 2a} e^z/(z + ia) \text{d}z) = \pi/a ( e^{ia} - e^{- ia}) = 2\pi i (sin a)/a $

ottenendo ovviamente lo stesso risultato già ottenuto (più semplicemente) applicando il teorema dei residui.

[Wwweeerrr1]

Grazie mille a entrambi! Cercavo specificatamente un metodo con la formula di Cauchy, per questo mi sono permesso di chiedere.

[gugo82]

Ok, ma non l'avevi specificato...

Per usare Cauchy, puoi farlo e però devi farlo in maniera furba.
Vuoi calcolare l'integrale esteso a $C(0;2a)$ che immagino sia la frontiera del disco aperto $partial D(0;2a) =\{ |z| < 2a\}$.
In tale disco cadono entrambe le singolarità dell'integrando, i.e. $+-ia$, e perciò la Formula Integrale di Cauchy non è applicabile.
Quello che si può fare è isolare le due singolarità in due dischetti piccini-picciò di raggio $epsilon$, cioè $D(+-ia; epsilon)$, ed applicare la F.I.d.C. in ognuno dei due dischetti; poi applicare il Teorema Integrale di Cauchy al dominio a più contorni $Omega := D(0;2a) \setminus (bar(D)(ia; epsilon) uu bar(D)(-ia; epsilon))$ per ottenere l'integrale cercato.
In altre parole, visto che il tuo integrando $f(z)$ è olomorfo in (un aperto contenente la chiusura di) $Omega$, per T.I.d.C. hai:

$int_(partial Omega) f(z)\ "d" z = 0\ <=>\ [int_(C(0;2a)) - int_(C(ia;epsilon)) - int_(C(-ia;epsilon))] f(z)\ "d" z = 0$

da cui:

$int_(C(0;2a)) f(z)\ "d" z = int_(C(ia;epsilon)) f(z)\ "d" z + int_(C(-ia;epsilon)) f(z)\ "d" z$;

gli integrali al secondo membro sono calcolabili con la F.I.d.C. ed hai finito.