Punti di diramazione e fogli di Riemann

[luna21_96]

Salve a tutti,
sto preparando l'esame di metodi matematici e questo pomeriggio mi sono imbattuta in questo esercizio:
Presa la seguente funzione

$ f(z) = (z^2+16)^(1/4)/(2z^3-2z^2-4z) $

una volta i trovati i punti di diramazione determinare il taglio ed il numero di fogli di Riemann necessari per rendere la funzione monodroma.

Per la prima parte, ovvero trovare i punti di diramazione non ho avuto alcuna difficoltà, e dovrebbero essere $ z = +- 4i $
; il vero problema arriva con la seconda parte. Ovviamente ho cercato di capire cosa fossero esattamente i fogli di Riemann ed il taglio , ma il mio libro non mi fornisce grandissime informazioni nè esempi simili a questo .La soluzione, a quanto scritto negli appunti di una mia collega, dovrebbe essere 4 fogli per ogni punto di diramazione ma proprio non riesco a spiegarmi il perchè. Qualcuno sa come dovrebbe essere svolto?
Grazie

[Sk_Anonymous]

Provo a farla facile in modo da farla capire bene, tanto le definizioni rigorose si trovano ovunque. Una funzione " a più valori" può essere resa "ad un sol valore" immaginando che nel momento in cui, muovendoti sul piano, stai per farle cambiare valore, in realtà entri in un piano diverso unito al precedente da una giuntura (taglio) unito a sua volta da tanti altri piani quanti sono i possibili cambi di valore della funzione. Quando finisci i valori ritorni sul piano iniziale. Stiamo insomma dicendo che la funzione è definita non su un piano unico in cui assume $k$ valori ma su $k$ piani distinti ma legati in cui assume un certo valore per ogni piano. L'unione dei piani è detta superficie di Riemann. Ora nel piano complesso un taglio è una qualsiasi linea che congiunge due punti di diramazione, ovvero punti che se ci cammini attorno, per quanto vicino tu ci vada, la funzione cambia valore. Quindi se vuoi attraversare il taglio tra i punti di diramazione stai entrando in un altro foglio di Riemann. Si ovvia a ciò scegliendo un percorso chiuso che "ingloba costeggiando" il taglio e i relativi punti di diramazione ( non proprio rigoroso da dire soprattutto se uno dei punti è infinito, ma il senso resta quello).
Ora nel tuo caso hai due punti di diramazione che hai giustamente trovato, ovvero due punti per i quali, preso un intorno di essi, la funzione cambia valore. Quante volte cambia valore, cioè quanti fogli di Riemann avrai?
Se la $f(z)=z^2+16$ fosse questa e basta sarebbe facile, ma dato che hai una radice quarta $1/4$ hai in realtà $4$ soluzioni distinte nel piano complesso, per ogni scelta di punto di diramazione. Le soluzioni se vuoi trovarle si trovano con il ragionamento delle radici ennesime nei complessi, nulla di strano.
Il taglio sarà la linea che congiunge sul piano complesso i punti $+4i,-4i$ , ovvero se passi in quel segmento dell'asse immaginario, zac sei passata su un altro piano di definizione. Quella funzione ha anche dei poli quindi ci sono altri punti notevoli sul piano ma in generale il discorso è questo. Come ho detto non sono stato molto rigoroso ma penso possa servirti a capire

[luna21_96]

Grazie mille, sei stato molto chiaro (delle volte non importa essere ''rigorosi'' , è più importante farsi capire e tu hai fatto centro ahahahahaha )