Pull-back - Geometria Differenziale
Ciao, sono studente di ingegneria elettrica al 3 anno a Padova, frequento un corso di Geometria Differenziale della magistrale di matematica che mi è stato approvato nel piano di studi. Sono alle prese con il teorema di Frobenius ossia il corso è già ad uno stadio avanzato ma purtroppo non mi è chiara la definizione di differenziale data dal professore. E' una definizione diversa da quella data nei corsi di Analisi2 perché molto più generale e applicabile alla varietà.. infatti data $ fin C^ oo $ dice che $ dpsi [x] ((partial )/(partial t^i) )(f)=[(partial )/(partial t^i) (f@ psi )][x ] $ ove $ f@psi $ è il pull -back della funzione $ f $. Ha poi parlato del pullback come di un funtore controvariante, il che ha peggiorato la situazione dato che Anelli e Moduli è un corso che non ho frequentato. Qualcuno mi spiegherebbe come mai vale questa nuova definizione, cosi diversa da quella classica vista come combinazione lineare di derivate parziali sulla base dello spazio duale $ d psi(p)=(partial^i f)/(partial x^j) (p)dx^j(p) $ ? Grazie mille 
Risposte
nell'ultimo passaggio volevo scrivere $ d psi= (partial^ i psi)/(partial x^ j) dx^j $ ovviamente
Ciao!
Innanzi tutto non ti far spaventare da paroloni. Funtore controvariante vuol dire semplicemente che il pullback inverte l'ordine nella composizione di funzioni.
Se hai una funzione liscia $\psi: M \to N$, definisci
\[\psi^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M), \quad f \mapsto f \circ \psi\]
Si dice che l'operazione \(\psi \mapsto \psi^*\) è un funtore controvariante poiché \((\text{id}_M)^* = \text{id}_{C^\infty(M)}\) e \((\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*\) (si direbbe covariante se rispettasse l'ordine di composizione \((\psi \circ \phi)^* = \psi^* \circ \phi^*\))
Questa mappa è detta pull-back perché "porta indietro" le funzioni in $N$ tramite $\psi$.
Dato che un vettore $X_p$ è una derivazione su $C^\infty(M)$ (è questa la definizione di vettore con cui lavori?), l'idea è quella di trasportare questo vettore su $N$ (portare avanti) semplicemente "portando indietro" le funzioni. Si definisce il differenziale, o push-forward:
\[\psi_*|_p(X_p): C^\infty(N) \to \mathbb{R},\quad f \mapsto X_p(f^*) = X_p(f \circ \psi)\]
Si definisce così la mappa:
\[\psi_*|_p: T_pM \to T_{\psi(p)}N, \quad X_p \mapsto \psi_*|_p(X_p) = X_p \circ \psi^*\]
L'associazione \(\psi \to \psi_*|_p\) si verifica essere un funtore controvariante. Questa mappa è quella che tu indichi con $d\psi$, ma preferisco tenere questa notazione (inoltre l'asterisco basso contrapposto a quello alto del pull-back sottolinea la dualità tra queste due mappe).
Il push-forward si può estendere a una mappa \(\psi_*: TM \to TN\) richiedendo che \(\psi_* |_{T_pM} = \psi_*|_p\).
Ora supponiamo che $M = RR^n$ e $N = RR^n$, che oggetto è $\psi_*$?
\[\psi_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p (f) = \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p (f \circ \psi) = \sum_j \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg|_{\psi(p)} = \left(\sum_j \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)}\right)(f)\]
Quindi su un generico vettore $X^i\partial_i$ abbiamo:
\[\psi_* \left(\sum_i X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p \right) = \sum_{ij} X^i \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)}\]
Ovvero l'usuale formula per la derivata direzionale!
Come possiamo procedere su varietà generiche?
Definiamo i vettori coordinati come push-forward dei vettori coordinati in $RR^n$. Se $(U,\phi)$ è un intorno coordinato attorno a $p$ definiamo
\[ \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p := \phi^{-1}_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}\]
Che oggetto è questo? Beh, data $f: M \to RR$ abbiamo
\[ \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p(f) = \phi^{-1}_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}(f) = \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}(f \circ \phi^{-1})\]
ovvero questo vettore è semplicemente la derivata parziale della nostra funzione espressa in coordinate.
Avremo
\[\psi_* (\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p) = \sum_j \frac{\partial \hat{\psi}^j}{\partial x^i}\bigg|_p \tilde{\phi}^{-1}_*\frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\hat{\psi}(p)} =\sum_j \frac{\partial \hat{\psi}^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)} \]
_______
Se $\psi : M \to RR$, in coordinate abbiamo
\[\psi_*(X^i\partial_i) = X^i\frac{\partial \psi}{\partial x^i} = \frac{\partial \psi}{\partial x^i}dx^i(X^k\partial_k)\]
ovvero
\[\psi_* = \frac{\partial \psi}{\partial x^i}dx^i\]
avendo identificato $T_pRR$ con $RR$ stesso.
In questo caso particolare possiamo definire il differenziale di $f$ come:
\[d_pf: T_pM \to \mathbb{R}, \quad X_p \to X_p(f)\]
che vivrà in $T_pM^*$. Una volta identificato $T_pRR$ con $RR$, push-forward e differenziale coincidono, ma quest'ultimo è definito solo in questo caso specifico (e su forme differenziali).
Spero di aver risposto alla tua domanda!
Innanzi tutto non ti far spaventare da paroloni. Funtore controvariante vuol dire semplicemente che il pullback inverte l'ordine nella composizione di funzioni.
Se hai una funzione liscia $\psi: M \to N$, definisci
\[\psi^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M), \quad f \mapsto f \circ \psi\]
Si dice che l'operazione \(\psi \mapsto \psi^*\) è un funtore controvariante poiché \((\text{id}_M)^* = \text{id}_{C^\infty(M)}\) e \((\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*\) (si direbbe covariante se rispettasse l'ordine di composizione \((\psi \circ \phi)^* = \psi^* \circ \phi^*\))
Questa mappa è detta pull-back perché "porta indietro" le funzioni in $N$ tramite $\psi$.
Dato che un vettore $X_p$ è una derivazione su $C^\infty(M)$ (è questa la definizione di vettore con cui lavori?), l'idea è quella di trasportare questo vettore su $N$ (portare avanti) semplicemente "portando indietro" le funzioni. Si definisce il differenziale, o push-forward:
\[\psi_*|_p(X_p): C^\infty(N) \to \mathbb{R},\quad f \mapsto X_p(f^*) = X_p(f \circ \psi)\]
Si definisce così la mappa:
\[\psi_*|_p: T_pM \to T_{\psi(p)}N, \quad X_p \mapsto \psi_*|_p(X_p) = X_p \circ \psi^*\]
L'associazione \(\psi \to \psi_*|_p\) si verifica essere un funtore controvariante. Questa mappa è quella che tu indichi con $d\psi$, ma preferisco tenere questa notazione (inoltre l'asterisco basso contrapposto a quello alto del pull-back sottolinea la dualità tra queste due mappe).
Il push-forward si può estendere a una mappa \(\psi_*: TM \to TN\) richiedendo che \(\psi_* |_{T_pM} = \psi_*|_p\).
Ora supponiamo che $M = RR^n$ e $N = RR^n$, che oggetto è $\psi_*$?
\[\psi_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p (f) = \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p (f \circ \psi) = \sum_j \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial f}{\partial y^i}\bigg|_{\psi(p)} = \left(\sum_j \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)}\right)(f)\]
Quindi su un generico vettore $X^i\partial_i$ abbiamo:
\[\psi_* \left(\sum_i X^i\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p \right) = \sum_{ij} X^i \frac{\partial \psi^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)}\]
Ovvero l'usuale formula per la derivata direzionale!
Come possiamo procedere su varietà generiche?
Definiamo i vettori coordinati come push-forward dei vettori coordinati in $RR^n$. Se $(U,\phi)$ è un intorno coordinato attorno a $p$ definiamo
\[ \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p := \phi^{-1}_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}\]
Che oggetto è questo? Beh, data $f: M \to RR$ abbiamo
\[ \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p(f) = \phi^{-1}_* \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}(f) = \frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_{\phi(p)}(f \circ \phi^{-1})\]
ovvero questo vettore è semplicemente la derivata parziale della nostra funzione espressa in coordinate.
Avremo
\[\psi_* (\frac{\partial}{\partial x^i}\bigg|_p) = \sum_j \frac{\partial \hat{\psi}^j}{\partial x^i}\bigg|_p \tilde{\phi}^{-1}_*\frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\hat{\psi}(p)} =\sum_j \frac{\partial \hat{\psi}^j}{\partial x^i}\bigg|_p \frac{\partial}{\partial y^j}\bigg|_{\psi(p)} \]
_______
Se $\psi : M \to RR$, in coordinate abbiamo
\[\psi_*(X^i\partial_i) = X^i\frac{\partial \psi}{\partial x^i} = \frac{\partial \psi}{\partial x^i}dx^i(X^k\partial_k)\]
ovvero
\[\psi_* = \frac{\partial \psi}{\partial x^i}dx^i\]
avendo identificato $T_pRR$ con $RR$ stesso.
In questo caso particolare possiamo definire il differenziale di $f$ come:
\[d_pf: T_pM \to \mathbb{R}, \quad X_p \to X_p(f)\]
che vivrà in $T_pM^*$. Una volta identificato $T_pRR$ con $RR$, push-forward e differenziale coincidono, ma quest'ultimo è definito solo in questo caso specifico (e su forme differenziali).
Spero di aver risposto alla tua domanda!
"Emar":
Innanzi tutto non ti far spaventare da paroloni. Funtore controvariante vuol dire semplicemente che il pullback inverte l'ordine nella composizione di funzioni.
Se hai una funzione liscia $\psi: M \to N$, definisci
\[\psi^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M), \quad f \mapsto f \circ \psi\]
Si dice che l'operazione \(\psi \mapsto \psi^*\) è un funtore controvariante poiché \((\text{id}_M)^* = \text{id}_{C^\infty(M)}\) e \((\psi \circ \phi)^* = \phi^* \circ \psi^*\) (si direbbe covariante se rispettasse l'ordine di composizione \((\psi \circ \phi)^* = \psi^* \circ \phi^*\))
Prima di tutto sono contento di ritrovarti, Emar! Una bellissima risposta. Finalmente ho capito cosa cavolo significa "controvariante", nel senso di un funtore. Io però, che della geometria differenziale sono solo un utente (anzi, un utonto), sapevo che un tensore è controvariante se ha solo gli indici alti; per esempio
\[
T^{i{}j{}k}\frac{\partial}{\partial x^i}\frac{\partial}{\partial x^j}\frac{\partial}{\partial x^k}, \]
è un tensore controvariante (oppure, con tre indici controvarianti).
C'entra qualcosa con la roba dei funtori che hai scritto tu?
Un tensore con $p$ componenti controvarianti e $q$ componenti covarianti si può riguadare come un'applicazione multilineare \(T : V^\lor\otimes\dots\otimes V^\lor\otimes V\otimes\dots\otimes V\to k\); l'analogia (debole) è quindi quella tra il duale di uno spazio vettoriale e la categoria opposta (dove hai girato le direzioni delle frecce).
"dissonance":
Prima di tutto sono contento di ritrovarti, Emar!
Caro dissonance, il piacere è mio! Era da tantissimo che non frequentavo il forum, ho avuto una notte insonne e ci sono capitato vagabondando per la rete.
"dissonance":
C'entra qualcosa con la roba dei funtori che hai scritto tu?
I due concetti, a quanto ne so, non sono collegati.
Tuttavia, questa nomenclatura può dare luogo a confusione. Infatti un tensore controvariante di ordine 1 è un campo vettoriale e un diffeomorfismo può agire su di esso tramite push-forward (che è un funtore covariante). Viceversa un tensore covariante di ordine 1 è una 1-forma differenziale, su cui una mappa agisce con il pullback (che è un funtore controvariante).
Ma, a parte questo noioso "conflitto" di nomenclatura, non ci sono legami profondi.
Infatti, cito da Wikipedia, la terminologia di co/controvarianza per i tensori risale a Sylvester (1851), che precede di molto la teoria della categorie di Eilenberg-MacLane (1945), sviluppata senza riferimento alla terminologia tensoriale.
PS: non scherzare definendoti utonto, pensa che nella mia memoria ti ricordo per avermi "introdotto" alla geometria differenziale
Ho capito. Grazie mille a Emar e fmnq per avermi chiarito questo dubbio.
"Emar":
la terminologia di co/controvarianza per i tensori risale a Sylvester (1851), che precede di molto la teoria della categorie di Eilenberg-MacLane (1945), sviluppata senza riferimento alla terminologia tensoriale.
Questo non è molto rilevante, e in effetti è perlomeno riduttivo ridurre la questione ad un argomento cronologico. L'analogia che quasi certamente ha animato Eilenberg e Mac Lane è la seguente: da un lato, la categoria degli spazi vettoriali ha un endofuntore di passaggio al duale, che manda uno spazio vettoriale nello spazio vettoriale \(V^\lor = [V,k]\) delle mappe lineari $f : V\to k$. Dall'altro, la 2-categoria delle categorie \(\bf Cat\) ha un endofuntore di passaggio alla categoria opposta, che manda una categoria \(\mathcal A\) nella categoria \(\mathcal A^\text{op}\) ottenuta rovesciando la direzione delle sue frecce. Fin qui, l'analogia formale sembra peregrina, ma le corrispondenze \(V\mapsto V^\lor\) e \(\mathcal A\mapsto \mathcal A^\text{op}\) sono entrambe scelte canoniche di una involuzione star in una struttura di categoria *-autonoma (da un lato, gli spazi vettoriali sono un esempio canonico di tale struttura; dall'altro, bisogna pensare \(\bf Cat\) immersa nella bicategoria monoidale dei profuntori, vedi l'introduzione di Contravariance through enrichment, oppure questo http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/do ... 1&type=pdf oppure questo https://www.tcs.ifi.lmu.de/mitarbeiter/ ... spaces.pdf
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo